$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle - Ensembles, applications, relations

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Parties égales ou égales au complémentaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble. On définit sur $\mathcal P(E)$, l'ensemble des parties de $E$, la relation suivante : $$A\mathcal R B\textrm{ si }A=B\textrm{ ou }A=\bar B,$$ où $\bar B$ est le complémentaire de $B$ (dans $E$). Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Image directe et injectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:X\to Y$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. $f$ est injective.
  2. Pour tous $A,B$ de $X$, on a $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Équations et ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble et soit $A,B\in\mathcal P(E)$. Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $X\in\mathcal P(E)$ :
  1. $A\cup X=B$;
  2. $A\cap X=B$.
Indication
Corrigé