$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Développements limités

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
A l'aide des développements limités, déterminer les asymptotes éventuelles et la position relative par rapport aux asymptotes de la courbe représentative de la fonction : $$f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}.$$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Ordre le plus grand possible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer $a$ et $b$ pour que la partie principale du développement limité en 0 de la fonction $\cos x-\frac{1+ax^2}{1+bx^2}$ soit de degré le plus grand possible.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Suite implicite - exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère, pour tout $n\in\mathbb N^*$, l'équation $e^x+x-n=0$.
  1. Montrer que l'équation admet une unique solution que l'on notera $u_n$.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$.
  3. Montrer que $u_n\sim_{+\infty}\ln n$.
  4. En étudiant $v_n=u_n-\ln n$, montrer que $$u_n=\ln n-\frac{\ln n}{n}+o\left(\frac{\ln n}n\right).$$
Indication
Corrigé