Préparer sa kholle : Généralités sur les espaces vectoriels
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ :
$$\begin{array}{llll}
v_1=(1,2,0,1)&v_2=(1,0,2,1)&v_3=(2,0,4,2)\\
w_1=(1,2,1,0)&w_2=(-1,1,1,1)&w_3=(2,-1,0,1)&w_4=(2,2,2,2).
\end{array}$$
- Montrer que $(v_1,v_2)$ est libre et que $(v_1,v_2,v_3)$ est liée.
- Montrer que $(w_1,w_2,w_3)$ est libre et que $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ est liée.
- Montrer que $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est libre.
- Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ engendré par $(v_1,v_2,v_3)$.
- Déterminer une base de $F$.
- Donner un supplémentaire de $F$.
- Soit $G$ le sous-espace vectoriel engendré par $(w_1,w_2,w_3,w_4)$. Déterminer une base de $G$.
- A l'aide des bases trouvées en 4. et 5. construire un système générateur de $F+G$.
- En déduire que $F+G=\mathbb R^4$.
- Montrer que $v_1+v_2$ est dans $F\cap G$.
- Calculer la dimension de $F\cap G$.
- Donner une base de $F\cap G$.
- $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires?
L'exercice standard
Enoncé
Soit $n\geq 1$, $E=\mathbb R_n[X]$ et $\phi\in\mathcal L(E)$ défini par $\phi(P)=P(X+1)-P(X)$. Déterminer le noyau et l'image de $\phi$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$.
- Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\cap\ker(f)=\{0\}.$$
- On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\oplus \ker(f)=E\iff \textrm{Im}(f)=\textrm{Im}(f^2).$$