$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Groupe symétrique et déterminants

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Pour $\alpha\in\mathbb R$, on considère $$M_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} 1&3&\alpha\\ 2&-1&1\\ -1&1&0 \end{array} \right).$$ Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles l'application linéaire associée à $M_\alpha$ est bijective.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soient $a,b,c$ des réels et $\Delta_n$ le déterminant de la matrice $n\times n$ suivant : $$\Delta_n=\left|\begin{array}{ccccc} a&b&0&\dots&0\\ c&a&b&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&b\\ 0&\dots&0&c&a \end{array}\right|.$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_{n+2}=a\Delta_{n+1}-bc\Delta_n.$
  2. On suppose que $a^2=4bc$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_n=\frac{(n+1)a^n}{2^n}$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soient $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ des complexes. Déterminer la valeur du déterminant suivant : $$\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1y_1&x_1y_2&\dots&x_1y_n\\ x_2y_1&1+x_2y_2&\dots&x_2y_n\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ x_ny_1&\dots&\dots&1+x_ny_n \end{array}\right|.$$
Indication
Corrigé