Préparer sa kholle - Dérivabilité
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Déterminer $a,b\in\mathbb R$ de sorte que la fonction $f$ définie sur $\mathbb R_+$ par
$$f(x)=\sqrt x\textrm{ si }0\leq x\leq 1\textrm{ et }f(x)=ax^2+bx+1\textrm{ si }x>1$$
soit dérivable en $1$.
L'exercice standard
Enoncé
Déterminer la dérivée d'ordre $n$ de la fonction $f$ définie par $f(x)=(x-a)^n (x-b)^n$
($a,b$ sont des réels). En étudiant le cas $a=b$, trouver la valeur de $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
On appelle polynômes de Legendre les polynômes $P_n(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(n)}$.
- Calculer le degré de $P_n$ et son coefficient dominant.
- Pour $0\leq p\leq n$, on pose $Q_p(X)=\left((X^2-1)^n\right)^{(p)}$. Quel est le degré de $Q_p$? Démontrer que $Q_p$ admet deux zéros d'ordre $n-p$, et $p$ zéros d'ordre 1.
- En déduire que $P_n$ s'annule exactement en $n$ points deux à deux distincts de $]-1,1[$.