$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle - Séries

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $A$ l'ensemble des nombres à 7 chiffres ne comportant aucun "1". Déterminer le nombre d'éléments des ensembles suivants :
  1. $A$.
  2. $A_1$, ensemble des nombres de $A$ ayant 7 chiffres différents.
  3. $A_2$, ensemble des nombres pairs de $A$.
  4. $A_3$, ensemble des nombres de $A$ dont les chiffres forment une suite strictement croissante (dans l'ordre où ils sont écrits).
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments; Combien y-a-t-il de couples $(X,Y)$ de parties de $E$ tels que $X\subset Y$?
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Combinaisons avec répétitions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N^*$ et $p\in\mathbb N$, on note $\Gamma_n^p$ le nombre de $n$-uplets $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb N^n$ tels que $x_1+\dots+x_n=p$.
  1. Déterminer $\Gamma_n^0$, $\Gamma_n^1$, $\Gamma_n^2$, $\Gamma_1^p$ et $\Gamma_2^p$.
  2. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, pour tout $p\in\mathbb N$, $$\Gamma_{n+1}^p=\Gamma_n^0+\Gamma_n^1+\dots+\Gamma_n^p.$$
  3. En déduire que, pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $p\in\mathbb N$, $$\Gamma_n^p=\binom{n+p-1}p.$$
Indication
Corrigé