Préparer sa kholle - Séries
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $A$ l'ensemble des nombres à 7 chiffres ne comportant aucun "1". Déterminer le nombre d'éléments des ensembles suivants :
- $A$.
- $A_1$, ensemble des nombres de $A$ ayant 7 chiffres différents.
- $A_2$, ensemble des nombres pairs de $A$.
- $A_3$, ensemble des nombres de $A$ dont les chiffres forment une suite strictement croissante (dans l'ordre où ils sont écrits).
L'exercice standard
Enoncé
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments; Combien y-a-t-il de couples $(X,Y)$ de parties de $E$ tels que $X\subset Y$?
L'exercice pour les héros
Enoncé
Pour $n\in\mathbb N^*$ et $p\in\mathbb N$, on note $\Gamma_n^p$ le nombre de $n$-uplets $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb N^n$ tels que $x_1+\dots+x_n=p$.
- Déterminer $\Gamma_n^0$, $\Gamma_n^1$, $\Gamma_n^2$, $\Gamma_1^p$ et $\Gamma_2^p$.
- Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, pour tout $p\in\mathbb N$, $$\Gamma_{n+1}^p=\Gamma_n^0+\Gamma_n^1+\dots+\Gamma_n^p.$$
- En déduire que, pour tout $n\in\mathbb N^*$ et tout $p\in\mathbb N$, $$\Gamma_n^p=\binom{n+p-1}p.$$