$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle - Nombres complexes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations du second degré suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^2-2iz-1+2i=0&&\mathbf{2.}\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\ \mathbf{3.}\ z^2-(7+i)z+12+3i=0. \end{array}$$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$; on note $\mathbb U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer $\sum_{z\in \mathbb U_n}|z-1|$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.
  1. Calculer le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
  2. Soit $p\geq 0$. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$.
  3. En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n =2n$.
Indication
Corrigé