Préparer sa kholle : Arithmétique
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Démontrer que $13$ divise $3^{126}+5^{126}$.
L'exercice standard
Enoncé
Calculer le pgcd de $2^{445}+7$ et $15$.
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $n$ un nombre entier, $n=p_1^{\alpha_1}\dots p_r^{\alpha_r}$
sa décomposition en produit de facteurs premiers. On note $d(n)$ le nombre
de diviseurs de $n$.
- Montrer que $d(n)=\prod_{i=1}^r (\alpha_i+1)$.
- Montrer que $n$ est un carré parfait si et seulement si $d(n)$ est impair.
- Montrer que $\prod_{d|n}d=\sqrt{n}^{d(n)}$.