$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : variables aléatoires discrètes

Déterminer la loi d'une variable aléatoire
  Pour déterminer la loi d'une variable aléatoire, on peut
  • Reconnaitre un schéma classique menant à la loi binomiale ou à la loi géométrique (voir cet exercice)
  • Effectuer un calcul de probabilités en utilisant les outils classiques (probabilités conditionnelles, formule des probabilités totales, des probabilités composées...) (voir cet exercice).
Calculer l'espérance, la variance d'une variable aléatoire
  Pour calculer l'espérance ou la variance d'une variable aléatoire, on peut
  • utiliser les résultats du cours pour les lois usuelles (voir cet exercice)
  • appliquer la définition. On sera alors souvent amené à utiliser les résultats sur les sommes classiques, par exemple la somme d'une série géométrique $\sum_{n\geq 0}x^n=\frac 1{1-x}$ ou ses dérivées, le développement en série entière de la fonction exponentielle... (voir cet exercice)
  • calculer la fonction génératrice de la variable aléatoire et utiliser le lien entre la fonction génératrice et les divers moments.
Déterminer la loi d'une somme de deux variables aléatoires
  Pour déterminer la loi d'une somme $Z=X+Y$ de deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\mathbb N$, on peut

  • écrire que $Z=n$ si et seulement si il existe $k\in \mathbb N$ tel que $X=k$ et $Y=n-k$ et utiliser l'indépendance de $X$ et de $Y$ pour calculer $P(X=k,Y=n-k)$.
  • utiliser les fonctions génératrices et le fait que $G_{X+Y}=G_X\times G_Y$ (voir cet exercice).
Majorer la probabilité qu'une variable aléatoire soit dans un certain intervalle
  Pour majorer la probabilité qu'une variable aléatoire soit dans un certain intervalle, on utilise très souvent les inégalités de Markov ou de Bienaymé-Tchebychev (voir cet exercice ou cet exercice).
Retrouver une loi marginale connaissant une loi conjointe
  Pour retrouver la loi de $X$ connaissant la loi du couple $(X,Y)$, on écrit simplement que $$P(X=x)=\sum_{k=1}^{+\infty}P\big( (X,Y)=(x,y_k)\big)$$ où $(y_k)_{k\geq 1}$ est l'ensemble des valeurs prises par $Y$ (voir cet exercice) .
Déterminer une loi conjointe
  Pour déterminer la loi conjointe de $(X,Y)$, un cas facile est suivant où la loi de $X$ est connue, et où on connait la loi conditionnelle de $Y$ sachant $X$. On écrit alors simplement $$P(X=k,Y=j)=P(X=k)P(Y=j|X=k)$$ (voir cet exercice ou celui-ci).