$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : réduction des endomorphismes

Démontrer qu'une matrice est diagonalisable
  Pour démontrer qu'une matrice $A$ est diagonalisable,
  • la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique $\chi_A$ et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de $A$. Si $\chi_A$ n'est pas scindé, $A$ n'est pas diagonalisable. Si $\chi_A$ est scindé à racines simples, $A$ est diagonalisable. Si $\chi_A$ est scindé sans être à racines simples, pour chaque valeur propre, on cherche une base de l'espace propre associé et on étudie si la dimension de cet espace propre vaut la multiplicité de la racine.
  • dans le cas où la matrice a un petit rang (un ou deux), on peut essayer de déterminer directement un ou deux vecteurs propres indépendants en étudiant la forme de la matrice (voir cet exercice).
Diagonaliser effectivement une matrice $A$
  Pour diagonaliser effectivement une matrice $A$,
  • on cherche ses valeurs propres par exemple en calculant le polynôme caractéristique;
  • pour chaque valeur propre, on cherche une base de l'espace propre associé;
  • on a alors $A=PDP^{-1}$ où $P$ est la matrice dont les colonnes sont constituées par la réunion des bases des espaces propres et la matrice $D$ est la matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres de $A$, écrites dans le même ordre que les vecteurs colonnes de $P$
(voir cet exercice).
Trigonaliser une matrice $A$
  Pour trigonaliser une matrice $A$,
  • on cherche les valeurs propres en calculant le polynôme caractéristique de $A$;
  • pour chaque valeur propre, on cherche une base de vecteurs propres associés;
  • si l'énoncé donne la forme d'une matrice triangulaire à laquelle $A$ doit être semblable, on cherche un vecteur vérifiant la dernière condition (voir cet exercice);
  • sinon, si on est en dimension 3 et que l'on a déjà obtenu deux vecteurs, on complète la famille obtenue par n'importe quel vecteur indépendant des deux premiers (voir cet exercice).
Déterminer une racine carrée, cubique, $n$-ième d'une matrice
  Pour déterminer une racine carrée d'une matrice $A$, on peut :
  • Diagonaliser $A$, $A=PDP^{-1}$;
  • Chercher une racine carrée de $D$ en considérant la matrice $E$ diagonale dont les coefficients sur la diagonale sont les racines carrées des coefficients de $D$;
  • Poser $B=PEP^{-1}$ qui vérifie bien $B^2=A$.
La même méthode fonctionne pour une racine cubique ou plus généralement pour une racine $n$-ième (voir cet exercice).
Réduire un endomorphisme quelconque
  Quand on a un endomorphisme $\phi\in\mathcal L(E)$ défini sur un espace de polynômes, de matrices, etc…, sa réduction ne nécessite pas toujours de calculer le polynôme caractéristique que $\phi$. Le plus souvent, on cherche simultanément les éléments propres (valeurs propres et vecteurs propres) en regardant l'équation $\phi(x)=\lambda x$ et en trouvant des conditions sur $\lambda$ pour qu'il y ait des solutions $x$ non-nulles (voir cet exercice ou celui-ci).
Propriétés vérifiées par un endomorphisme diagonalisable
  Quand on veut démontrer qu'un endomorphisme $v\in\mathcal L(E)$ vérifie certaines propriétés relatives à l'endomorphisme diagonalisable $u$, on peut vérifier que $v$ vérifie cette propriété sur chaque sous-espace propre de $u$, puis utiliser que $E$ est somme directe des sous-espaces propres de $u$ (voir cet exercice).
A la recherche de contre-exemples
  • Les prototypes de matrices non-diagonalisables sont $$A=\left(\begin{array}{cc} a&1\\ 0&a \end{array} \right)$$ admettant une seule valeur propre $a$, et non diagonalisable car sinon elle serait égale à $aI_2$, et $$B=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array} \right)$$ qui n'est pas diagonalisable sur $\mathbb R$ car son polynôme caractéristique est $X^2+1$, qui n'admet pas de racines dans $\mathbb R$.