Méthodes : Espaces préhilbertiens et endomorphismes des espaces euclidiens
Pour déterminer l'adjoint d'un endomorphisme $u,$ on peut
- revenir à la définition : si l'application $v$ vérifie $$\forall (x,y)\in E^2,\ \langle u(x),y\rangle=\langle x,v(y)\rangle,$$ alors $v=u^*$ (voir cet exercice ou cet exercice).
- utiliser les propriétés du cours sur l'adjoint : $(u+v)^*=u^*+v^*,$ $(u^*)^*=u,\dots$ (voir cet exercice ou cet exercice).
- faire intervenir la matrice $A$ de $u$ dans une base orthonormée, et utiliser que la matrice de $u^*$ dans cette base est $A^T$.
Pour démontrer qu'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est orthogonale, on peut
- vérifier que $AA^T=I_n$ (voir cet exercice);
- vérifier que les colonnes de $A$ forment une base orthonormée de $\mathbb R^n (voir cet exercice);
- vérifier que $A$ est la matrice d'une isométrie vectorielle dans une base orthonormée.
Si on veut prouver de plus que $A\in SO_n(\mathbb R)$, on doit vérifier l'égalité $\det(A)=1.$
Pour démontrer qu'un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est une isométrie vectorielle, on peut
- vérifier que $\|u(x)\|=\|x\|$ pour tout $x\in E$ ou que $\langle u(x),u(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ pour tous $x,y\in E$ (voir cet exercice);
- démontrer qu'il transforme une base orthonormée en une base orthonormée;
- démontrer que sa matrice dans une base orthonormée est orthogonale.
Pour diagonaliser une matrice symétrique réelle $A$, on
- cherche ses valeurs propres (par exemple en calculant le polynôme caractéristique)
- détermine une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres. Ceci peut éventuellement être fait en choisissant une base de l'espace propre, et en l'orthonormalisant par le procédé de Schmidt.
- les espaces propres étant deux à deux orthogonaux, la réunion des bases orthonormées de chacun des sous-espaces propres donnera une base orthonormée de l'espace diagonalisant la matrice ou l'endomorphisme (voir cet exercice).
Lorsque l'on doit calculer des normes ou des produits scalaires invoquant des endomorphismes symétriques, il est souvent plus facile de réaliser les calculs dans une base orthonormée de vecteurs propres de cet endomorphisme (voir cet exercice ou cet exercice).
Pour démontrer qu'une matrice $A\in\mathcal S_n(\mathbb R)$ est dans $\mathcal S_n^{+}(\mathbb R)$, on peut appliquer l'une des deux méthodes suivantes :
- calculer les valeurs propres de $A$ et vérifier qu'elles sont dans $\mathbb R_+$ (voir cet exercice);
- utiliser la définition et vérifier que $\langle AX,X\rangle\geq 0$ pour tout $X\in\mathbb R^n$.