$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Espaces préhilbertiens et endomorphismes des espaces euclidiens

Calculer une distance à un sous-espace
  Pour calculer la distance de $x$ à un sous-espace $F$, on peut
  • déterminer une base orthonormale $(e_1,\dots,e_p)$ de $F$;
  • calculer le projeté orthogonal $p_F(x)$ de $x$ sur $F$ par la formule $$p_F(x)=\sum_{i=1}^p \langle x,e_i\rangle e_i.$$
  • calculer la distance par la formule $$d(x,F)=\|x-p_F(x)\|.$$
(voir cet exercice).
  Si $F$ est un hyperplan, on cherche plutôt un vecteur normal $\mathbb n$ à l'hyperplan, et on sait que $$d(x,F)=\frac{|\langle x,\mathbb n\rangle|}{\|\mathbb n\|}.$$
Diagonaliser une matrice symétrique dans une base orthonormale
  Pour diagonaliser une matrice symétrique réelle $A$, on
  • cherche ses valeurs propres (par exemple en calculant le polynôme caractéristique)
  • détermine une base orthonormée de chacun des sous-espaces propres. Ceci peut éventuellement être fait en choisissant une base de l'espace propre, et en l'orthonormalisant par le procédé de Schmidt.
  • les espaces propres étant deux à deux orthogonaux, la réunion des bases orthonormées de chacun des sous-espaces propres donnera une base orthonormée de l'espace diagonalisant la matrice ou l'endomorphisme (voir cet exercice).
Problème de calcul de normes et endomorphismes symétriques
  Lorsque l'on doit calculer des normes ou des produits scalaires invoquant des endomorphismes symétriques, il est souvent plus facile de réaliser les calculs dans une base orthonormée de vecteurs propres de cet endomorphisme (voir cet exercice ou cet exercice).
Déterminer les éléments caractéristiques d'une rotation de $\mathbb R^3$
  Soit $A$ une matrice de $\mathcal M_3(\mathbb R)$ orthogonale (les colonnes forment une base orthonormale de $\mathbb R^3$) et de déterminant 1. $A$ est donc la matrice d'une rotation. Pour déterminer ses éléments caractéristiques, on
  • cherche d'abord l'axe de la rotation en résolvant l'équation $AX=X$. On trouve une droite (vectorielle) de solutions dirigée par un vecteur $u$ qui est l'axe de la rotation.
  • on détermine ensuite, au signe près, l'angle de la rotation. Pour cela, on utilise que la forme réduite d'une rotation est $$\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos\theta&-\sin\theta\\ 0&\sin\theta&\cos\theta \end{array}\right).$$ On a donc $1+2\cos\theta=\textrm{Tr}(A)$, ce qui détermine $\theta$ au signe près (et à $2\pi$ près, bien sûr).
  • Pour déterminer le signe de $\theta$, on choisit $v$ un vecteur orthogonal à $u$, et on étudie si la base $(u,v,Av)$ est directe ou non en regardant si son déterminant dans la base canonique de $\mathbb R^3$ est positif ou négatif. Si la base est directe, on peut choisir $\theta\in [0,\pi]$. Si elle est indirecte, on peut choisir $\theta\in [\pi,2\pi]$ (voir cet exercice).
  • Un cas particulier est plus simple, celui où la matrice est à la fois orthogonale et symétrique. Dans ce cas, $A$ est la matrice d'un demi-tour, c'est-à-dire d'une rotation d'angle $\pi$. Il suffit alors de déterminer l'axe de la rotation (voir cet exercice).