$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : polynôme d'endomorphismes

Calculer les puissances d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur
  Pour calculer les puissances d'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on peut
  • déterminer un polynôme annulateur $P$ de $A$; par exemple, mais pas toujours, on peut utiliser pour $P$ le polynôme caractéristique de $A$;
  • effectuer la division euclidienne de $X^k$ par $P$ : $X^k=PQ+R$;
  • on a alors $A^k=R(A)$
(voir cet exercice).
Déterminer le polynôme minimal d'une matrice
  Pour déterminer le polynôme minimal d'une matrice $A$, on peut utiliser l'une des méthodes suivantes :
  • calculer les puissances de $A$ et trouver une relation entre elles de degré le plus petit possible;
  • chercher le polynôme minimal parmi les diviseurs du polynôme caractéristique, en se souvenant que ces deux polynômes ont les mêmes racines;
  • chercher à étudier si $A$ est diagonalisable, dans ce cas, son polynôme minimal est $(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_p)$ où $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont les valeurs propres distinctes de $A$
(voir cet exercice).
Exploiter l'existence d'un polynôme annulateur pour en déduire des propriétés sur une matrice
  Pour déterminer des propriétés d'une matrice $A$ sachant qu'il existe un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, on peut
  • factoriser $P$; les valeurs propres de $A$ sont contenues dans les racines de $P$;
  • exprimer la propriété voulue à l'aide des valeurs propres (le déterminant est le produit des valeurs propres quand la matrice est diagonalisable,….);
  • quand la matrice est réelle, on pourra utiliser que la multiplicité d'une valeur propre est égale à la multiplicité de la valeur propre conjuguée;
(voir cet exercice).
Étudier la diagonalisabilité d'une matrice $A$ à l'aide d'un polynôme annulateur
  Pour étudier si une matrice $A$ est diagonalisable, on peut utiliser le fait qu'elle est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynôme annulateur scindé à racines simples (voir cet exercice).