$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : intégrales impropres

\'Etude de la convergence d'une intégrale impropre
  Pour étudier une intégrale impropre $\int_I f$,
  • on commence par étudier la continuité (par morceaux) de $f$ sur $I$ pour déterminer là où il pourrait y avoir éventuellement un problème;
  • Méthode 1 : on connait une primitive. C'est le cas le plus facile car il suffit d'appliquer la définition. Ceci se produit rarement, mais on peut citer le cas des fonctions $e^{-x}$ et $\ln (x)$.
  • Méthode 2 : par majoration. Si on démontre que $f(x)=_{+\infty}o(1/x^\alpha)$ avec $\alpha>1$, alors $\int_a^{+\infty}f(t)dt$ va converger.
  • Méthode 3 : par minoration. Si on démontre que $\frac{1}{x^\alpha}\leq f(x)$ au voisinage de l'infini, avec $\alpha\leq 1$, alors $\int_a^{+\infty}f(t)dt$ diverge.
  • Méthode 4 : par équivalent. Si on démontre que $f(x)\sim_{+\infty}g(x)$ et si $f$ et/ou $g$ sont de signe constant au voisinage de l'infini, alors $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ et $\int_a^{+\infty}g(x)dx$ sont de même nature. Pour trouver un équivalent simple, on utilise les techniques usuelles, notamment les développements limités.
  • Méthode 5 : par intégration par parties. Pour l'étude des certaines intégrales, du type $\int_1^{+\infty}\frac{\sin }{t}dt$, qui ne sont pas absolument convergentes, une intégration par parties permet parfois de se ramener à ce cas.
Trouver un équivalent du reste ou de la somme partielle d'une intégrale impropre
Pour déterminer un équivalent du reste ou de la somme partielle d'une intégrale impropre, on peut utiliser les théorèmes d'intégration des relations de comparaison :
  • parfois, on remplace simplement une fonction $f$ dont on ne sait pas calculer l'intégrale par une fonction $g$ qui lui est équivalente et dont on sait calculer l'intégrale (voir cet exercice).
  • parfois, on réalise une intégration par parties pour arriver à une écriture du type $$\int_a^x f(t)dt=F(x)+\int_a^x g(t)dt.$$ On peut alors conclure par exemple si $g(t)=_b o\big(f(t)\big)$ (voir cet exercice).