$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : Fonctions définies par une intégrales

Permuter une limite et une intégrale
  Pour permuter une limite et une intégrale, $\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n(t)dt$, on peut
  • essayer de majorer $|f_n(t)|$ par une fonction $g_n(t)$ dont on sait calculer l'intégrale et telle que $\lim_{n\to+\infty}\int_I g_n(t)=0$;
  • appliquer le théorème de convergence dominée à la suite de fonctions $f_n$. Pour trouver une fonction intégrable majorante, il faut faire appel à toutes les inégalités classiques de l'analyse (type $|\sin(x)|\leq x$, $\ln(1+u)\leq u$,etc...).
Permuter une série et une intégrale
  Pour permuter une série et une intégrale, $\sum_{n\geq 1}\int_I u_n(t)dt$, on peut
  • appliquer le théorème d'intégration terme à terme (voir cet exercice).
  • dans certains cas, le théorème d'intégration terme à terme ne fonctionne pas, et il faut revenir à une application directe du théorème de convergence dominée avec la suite $S_N(t)=\sum_{n=1}^N u_n(t)$ (voir cet exercice).
Démontrer la continuité d'une intégrale à paramètres
  • lorsque l'intervalle d'intégration $I$ est un segment, l'hypothèse de domination est souvent plus facile à obtenir par un argument de compacité. En effet, supposons que $u$ soit continue comme fonction des deux variables sur $[a,b]\times I$. Alors, ce dernier ensemble étant compact, il existe $M>0$ tel que, pour tout $(x,t)\in [a,b]\times I$, $|u(x,t)|\leq M$. Et les constantes sont intégrables sur les segments! (voir cet exercice).
  • lorsque qu'on veut démontrer la continuité sur $\mathbb R$ d'une fonction du type $F(x)=\int_I f(x,t)dt$, il suffit de la démontrer sur tout segment $[a,b]\subset \mathbb R$ et donc d'appliquer le théorème de continuité d'une intégrale à paramètres avec $x\in [a,b]$ (avec $a<b$ quelconques). Ceci simplifie parfois l'obtention de la fonction majorante. Le même raisonnement s'applique pour la dérivabilité des intégrales à paramètres (voir cet exercice).