$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : espaces vectoriels normés de dimension finie

Trouver une norme qui donne un contre-exemple
  Lorsqu'on cherche un exemple de norme ne vérifiant pas une certaine propriété (ou qui montre qu'une certaine propriété ne peut pas être améliorée), on peut souvent utiliser la norme infinie $\|\cdot\|_\infty$ sur $\mathbb R^2$ ou sur $\mathbb R^n$. Elle possède certaines propriétés extrémales qui en font une bonne source de contre-exemples (voir cet exercice).
Démontrer que $N$ est une norme
  Pour démontrer que $N$ est une norme, on peut :
  • vérifier la définition d'une norme. Deux points peuvent poser plus particulièrement problème :
    • l'inégalité triangulaire, notamment dans le cas où la norme est définie par un sup. Il faut alors rédiger très proprement en s'inspirant de ce qui est fait dans le cours pour la norme infinie.
    • le fait que $N(x)=0$ si et seulement si $x=0$. Il faut parfois utiliser des propriétés de continuité, ou le nombre de racines d'un polynôme pour prouver ceci (voir cet exercice).
  • démontrer que $N$ est la norme issue d'un produit scalaire. Ceci est particulièrement approprié si la norme fait apparaitre des carrés. Dans ce cas, on retrouve le produit scalaire dont est issue la norme en appliquant la formule de polarisation (voir cet exercice).
  • vérifier que $N$ est la restriction à un sous-espace d'une norme bien connue.
Démontrer que deux normes ne sont pas équivalentes
  Pour démontrer que $N_1$ et $N_2$ ne sont pas deux normes équivalentes, le plus souvent on cherche une suite $(x_n)$ d'éléments de $E$ telle que $$\frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)}\to 0\textrm{ ou }\frac{N_1(x_n)}{N_2(x_n)}\to +\infty.$$ Pour la suite $(x_n)$, penser à des exemples assez simples (polynômes qui prennent des degrés de plus en plus haut si on travaille sur $\mathbb R[X]$, $x^n$ si on travaille avec des fonctions continues, fonctions en escalier,…) (voir cet exercice).
Construire une suite extraite vérifiant certaines propriétés
  Lorsqu'une suite vérifie une certaine propriété (elle n'est pas majorée, elle ne tend pas vers plus l'infini,…) et qu'on veut en extraire une suite extraite vérifiant une propriété liée (elle tend vers plus l'infini, elle est majorée), on procède souvent en deux temps :
  • on écrit avec des quantificateurs ce que signifie la propriété vérifiée par $(u_n)$;
  • en utilisant cette écriture, on construit par récurrence la suite extraite $(u_{\varphi(n)})$
(voir voir cet exercice ou celui-ci).