Méthodes : Compacité, connexité par arcs, espaces vectoriels de dimension finie
Pour démontrer qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ est compacte, on peut
- démontrer que $A$ est fermé et borné lorsque $E$ est de dimension finie (voir cet exercice).
- démontrer que toute suite $(x_n)$ d'éléments de $A$ admet une suite extraite convergente. Dans ce cas, on est parfois amené à réaliser des extractions successives (voir cet exercice).
- démontrer que $A$ est une partie fermée d'un espace compact (voir cet exercice).
- démontrer que $A$ est l'image d'un compact par une application continue (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$ n'est pas compacte, on peut
- démontrer que $A$ n'est pas fermé ou n'est pas borné (voir cet exercice).
- construire une suite de $A$ qui n'admet pas de suite extraite convergente dans $A$ (voir cet exercice).
Pour passer d'une inégalité du type $f(x)>0$ pour tout $x\in K$ à $f(x)\geq \delta$ avec $\delta>0$ pour tout $x\in K$, on utilise souvent le fait qu'une application continue sur un compact à valeurs dans $\mathbb R$ atteint ses bornes (voir cet exercice).
Pour prouver l'existence d'un extrémum pour une fonction continue $f:A\to \mathbb R,$ on peut essayer de se ramener à l'étude de $f$ sur une partie compacte et utiliser le fait qu'une fonction continue sur un compact, à valeurs dans $\mathbb R,$ est bornée et atteint ses bornes. Le fait que les bornes sont atteintes permet parfois d'avoir des informations supplémentaires sur l'extrémum, par exemple que $f(x_0)>0$ si $f$ atteint son minimum en $x_0$ (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'une partie $A$ d'un espace vectoriel normé est connexe par arcs, on peut
- démontrer qu'elle est convexe ou étoilée (voir cet exercice).
- construire explicitement un chemin continu tracé dans $A$ pour tous $x,y\in A$ (voir cet exercice);
- démontrer que c'est l'image d'un connexe par arcs par une application continue.
Pour démontrer qu'une partie $I$ de $\mathbb R$ est un intervalle, on peut démontrer que $I$ est l'image d'un connexe par arcs par une application continue, puisque les connexes par arcs de $\mathbb R$ sont les intervalles (voir cet exercice).
Pour démontrer qu'il n'existe pas de bijections $f:A\to B$ telle que $f$ et $f^{-1}$ soient continues, on peut
- démontrer que $A$ est compact, mais pas $B$;
- démontrer que $A$ est connexe par arcs, mais pas $B$; parfois, on retire un ou plusieurs points à ces ensembles (voir cet exercice).