$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : calcul différentiel

Démontrer qu'une fonction est différentiable
  Pour démontrer qu'une fonction est différentiable en $a$, on peut
  • utiliser le fait que la somme, le produit ou la composée d'applications différentiables est différentiable (voir cet exercice)
  • démontrer que $f$ est de classe $C^1$ (voir cet exercice)
  • obtenir explicitement un développement limité à l'ordre 1 (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction n'est pas différentiable
  Pour démontrer qu'une fonction n'est pas différentiable en $a$, on peut
  • démontrer que $f$ n'est pas continue en $a$ (voir cet exercice)
  • supposer l'existence d'une différentielle et donc d'un développement limité à l'ordre 1 et obtenir une contradiction (voir cet exercice)
Résoudre une équation aux dérivées partielles
  Pour résoudre une équation aux dérivées partielles linéaires du type $$a\frac{\partial f}{\partial x}+b\frac{\partial f}{\partial y}=0,$$ on peut
  • effectuer un changement de variables linéaires $u=\dots$, $v=\dots$, de sorte de se ramener, en posant $F(u,v)=f(x,y)$, à une équation du type $$\frac{\partial F}{\partial u}=0.$$
  • Intégrer cette équation, en disant que $F(u,v)=H(v)$ pour une fonction $H$ de classe $C^1$.
  • Revenir à la fonction de départ
(voir cet exercice).
Déterminer les extrema locaux d'une fonction
  Pour déterminer les extrema locaux d'une fonction $f:\mathbb R^n\to \mathbb R$, on
  • commence par rechercher les points critiques en résolvant le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x)&=&0\\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)&=&0\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}(x)&=&0 \end{array} \right. $$
  • on étudie la nature de ces points critiques. Pour cela, on peut envisager plusieurs méthodes, qui sont spécifiques à l'exercice : faire apparaitre la fonction comme une somme de carrés, étudier cette fonction sur des droites au voisinage du point critique, effectuer un changement de variables... (voir cet exercice ou cet exercice).
Déterminer le minimum d'une fonction sur un compact
  Pour déterminer le minimum ou le maximum d'une fonction sur un compact $K$,
  • on commence par dire qu'une fonction continue sur un compact admet un minimum et un maximum, pour en justifier l'existence;
  • le minimum est atteint ou bien sur la frontière du compact, ou bien en un point intérieur;
  • s'il est atteint en un point intérieur, alors ce point est un point critique. On cherche donc les points critiques à l'intérieur du compact, et on cherche la valeur de la fonction en ces points;
  • on étudie la fonction sur le bord du compact, souvent en le découpant en morceaux et en le paramétrant;
  • on compare les minima trouvés à chacune des étapes précédentes
(voir cet exercice ou cet exercice).