$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : anneaux

Démontrer que $A$ est un anneau
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ est un anneau, on peut vérifier qu'il s'agit d'un sous-anneau d'un anneau connu (voir cet exercice).
Calcul algébrique dans un anneau
  Pour réaliser des calculs algébriques dans un anneau (calcul de puissances, de sommes à une certaine puissance, factorisation), on peut utiliser les habituelles identités remarquables (dont la formule du binôme de Newton), à condition de travailler avec des éléments qui commutent (voir cet exercice).
Chercher les éléments inversibles d'un anneau
  Pour chercher les éléments inversibles d'un anneau $A$, on raisonne souvent par analyse/synthèse : on prend $x\in A$ dont on suppose qu'il est inversible, on écrit qu'il existe $y\in A$ tel que $xy=1$ et on essaie d'obtenir des conditions nécessaires sur $x$. Ces conditions nécessaires peuvent venir de plusieurs façons :
  • par des considérations arithmétiques (voir cet exercice);
  • par l'utilisation d'une "norme" sur $A$, c'est-à-dire d'une fonction $N:A\to \mathbb Z$ multiplicative au sens où $N(ab)=N(a)N(b)$ pour tous $a,b\in A$. Si $x$ est inversible, on doit alors avoir nécessairement $N(x)=\pm 1$ (voir cet exercice).
Résoudre une équation dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$
  • Pour résoudre une équation linéaire, ou un système d'équations, dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, dans le cas où $n$ est premier, on procède comme si l'on travaillait dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, notamment en utilisant la méthode du pivot de Gauss. On est souvent amené à calculer l'inverse d'un élément $\bar a$ de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ceci se fait en utilisant l'algorithme d'Euclide (il s'agit en effet de trouver des coefficients de Bézout) (voir cet exercice).
  • Pour résoudre une équation du second degré, on met le polynôme sous forme canonique, c'est-à-dire qu'on le transforme pour l'écrire sous la forme $(x+\bar a)^2-\bar b=0$. On regarde alors si $\bar b$ est un carré dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Si ce n'est pas le cas, l'équation n'admet pas de solutions. Si c'est le cas, ie si $\bar b=\bar c^2$, alors l'équation est équivalente à : $$(x+\bar a-\bar c)(x+\bar a+\bar c)=0.$$ On distingue alors deux cas :
    • si $n$ est premier, et donc $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un corps, alors on a deux solutions : $x=-\bar a+\bar c$ et $x=-\bar a-\bar c$.
    • si $n$ n'est pas premier, il faut plutôt chercher dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ toutes les solutions à l'équation $\bar y^2=\bar b$.
(voir cet exercice).
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb C$
  Pour décomposer un polynôme $P$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, on cherche les racines de $P$ (voir cet exercice).
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb R$
  Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, on peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C$, puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).