$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math Spé : Exercices sur les fonctions à valeurs vectorielles

Dérivation à valeurs scalaires et vectorielles
Enoncé
Soit $I$ un intervalle, $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:I\to E$ dérivable. On suppose de plus que $f$ ne s'annule pas et on pose, pour tout $t\in I$, $g(t)=\|f(t)\|$. Démontrer que $g$ est dérivable et donner $g'$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Inégalité des accroissements finis pour un espace euclidien [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:[a,b]\to E$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$. En considérant $\phi(t)=\langle f(b)-f(a),f(t)\rangle$, démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $$\|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\|f'(c)\|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Inégalité des accroissements finis vectorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $f:[a,b]\to E$ et $g:[a,b]\to\mathbb R$. On suppose que $f$ et $g$ sont dérivables sur $[a,b]$ et que pour tout $t\in [a,b]$, $\|f'(t)\|\leq g'(t)$. Soit $\veps>0$ et $$A_\veps=\{x\in [a,b];\ \forall t\in [a,x],\ \|f(t)-f(a)\|\leq g(t)-g(a)+\veps(t-a)\}.$$
  1. Justifier que $A_\veps$ admet une borne supérieure, puis que $\sup(A_\veps)\in A_\veps$.
  2. Démontrer que $\sup A_\veps=b$.
  3. En déduire que $\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Un problème de tangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ $n$ fois dérivable.
  1. On suppose que $f$ s'annule en $(n+1)$ points distincts de $[a,b]$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
  2. On suppose que $f(a)=f'(a)=\dots=f^{(n-1)}(a)=f(b)=0$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
  1. Pourquoi n'est-ce pas trivial?
  2. Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
  3. En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
  4. Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
  5. En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
  6. Soit $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ sur $[0,1]$, $0$ en $0$. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }x\leq 0\\ e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0. \end{array} \right.$$
  1. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
  2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Contrôle des dérivées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et $\lambda>0$ vérifiant : $$\left\{ \begin{array}{c} f^{(n)}(0)=0\textrm{ pour tout entier }n\geq 0\\ \sup_{\mathbb R}|f^{(n)}|\leq \lambda^nn! \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $f=0$ sur l'intervalle $\left]-\frac1\lambda,\frac1\lambda\right[$.
  2. Montrer que $f=0$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la suite récurrente définie par $u_0\in \mathbb R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$, où $f$ la fonction définie par $f(x)=1+\frac 14\sin\frac 1x$.
  1. Déterminer $I=f(\mathbb R^*)$, et montrer que $I$ est stable par $f$.
  2. Démontrer qu'il existe $\gamma\in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.
  3. Démontrer que, pour tout $x\in I$, $$|f'(x)|\leq\frac 49.$$
  4. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Indication
Corrigé
Intégration à valeurs scalaires et vectorielles
Exercice 10 - Majoration d'une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to E$ de classe $\mathcal C^1$ telle que $f(a)=0$. Démontrer que $$\left\| \int_a^b f(t)dt\right\|\leq \frac{(b-a)^2}2\sup_{t\in [a,b]}\|f'(t)\|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Norme d'une intégrale égale à l'intégrale de la nome [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $f:[a,b]\to E$ continue. On suppose que $$\int_a^b \|f(t)\|dt=\left\|\int_a^b f(t)dt\right\|.$$ On note $u$ le vecteur unitaire de $E$ défini par $$u=\frac{\int_a^b f(t)dt}{\int_a^b \|f(t)\|dt}.$$ Pour tout $t\in [a,b]$, on décompose $f(t)$ dans la somme directe $\mathbb Ru\oplus^\perp(\mathbb Ru)^\perp$ sous la forme $f(t)=\alpha (t)u+v(t)$.
  1. Démontrer que $\alpha$ et $v$ sont continues sur $[a,b]$.
  2. Démontrer que $\int_a^b v(t)dt$ est orthogonal à $u$.
  3. Démontrer que $\int_a^b \alpha(t)dt=\int_a^b \|f(t)\|dt$.
  4. Démontrer que, pour tout $t\in [a,b]$, $\alpha(t)\leq \|f(t)\|$.
  5. En déduire que, pour tout $t\in [a,b]$, $f(t)=\|f(t)\|v$.
  6. Le résultat subsiste-t-il si on suppose pas que $E$ est euclidien?
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Théorème du relèvement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^k(I,\mathbb C)$, où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$, telle que $|f(t)|=1$ pour tout $t\in I$. On souhaite prouver l'existence de $\alpha\in\mathcal C^k(I,\mathbb R)$ telle que, pour tout $t\in I$, on ait $$f(t)=e^{i\alpha(t)}.$$
  1. Montrer que si $\alpha_1$ et $\alpha_2$ sont deux solutions du problème, alors il existe $k\in\mathbb Z$ tel que, pour tout $t\in I$, $\alpha_1(t)=\alpha_2(t)+k2\pi$.
  2. Soit $t_0\in I$ et $\alpha_0$ un argument de $f(t_0)$. En considérant $$\alpha(t)=\alpha_0+\frac 1i\int_{t_0}^t \frac{f'(x)}{f(x)}dx$$ démontrer que le problème admet bien une solution.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Inégalités de Kolmogorov [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to E$ de classe $\mathcal C^2$. On suppose que $f$ et $f''$ sont bornées.
  1. Soit $x\in\mathbb R$ et $h>0$. Démontrer que $$\|f'(x)\|\leq\frac{2\|f\|_\infty}h+\frac{h\|f''\|_\infty}2.$$
  2. En déduire que $$\|f'\|_\infty\leq 2\sqrt{M_0M_2}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Toutes les intégrales sont nulles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout couple $(\alpha,\beta)\in[a,b]^2$, on a $\int_\alpha^\beta f(x)dx=0$. Montrer que $f\equiv 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Une drôle d'égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ réalisant une bijection de $[0,+\infty[$ sur $[0,+\infty[$.
  1. Justifier que $f$ est strictement croissante.
  2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R^+$, on a $$xf(x)=\int_0^x f(t)dt+\int_{0}^{f(x)}f^{-1}(t)dt.$$
  3. En déduire que, pour tous $x,y\in[0,+\infty[^2$, on a $$xy\leq \int_0^x f(t)dt+\int_0^yf^{-1}(t)dt.$$ Dans quel cas a-t-on égalité?
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite de $$v_n=\frac1n\prod_{k=1}^n (k+n)^{1/n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Strictement croissante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ strictement croissante telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$. Prouver que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\big(f(t))^n dt=0.$
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Ces\`aro pour les intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite finie $a$ en $+\infty$. Montrer que $$\frac 1x\int_0^x f(t)dt\to a\textrm{ quand }x\to+\infty.$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Logarithme intégral au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x h(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
  2. On considère la fonction $F$ définie sur $I=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $I$.
  3. En utilisant la décroissance sur $I$ de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  4. En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Intégration par parties - Niveau 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 x(\arctan x)^2dx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_0^1 \frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx$$
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Changements de variables - Recherche de primitives [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant un changement de variables, donner une primitive des fonctions suivantes : $$\mathbf{1.}\quad x\mapsto\frac{\ln x}x\quad\quad\mathbf{2.}\quad x\mapsto\cos(\sqrt x)$$
Indication
Corrigé
Arc paramétré
Enoncé
Soit $(I,f)$ un arc paramètre régulier de $\mathbb R^2$ tel que $t\mapsto \|f(t)\|$ est constante. Démontrer que, pour tout $t\in I$, $\langle f(t),f'(t)\rangle=0$. Quel résultat retrouve-t-on?
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Point le plus proche de l'origine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\overrightarrow{OM(t)}=f(t)$ une courbe paramétrée de classe $C^1$, dont tous les points sont réguliers, et ne passant pas par l'origine. Soit $t_0$ tel que la longueur $OM(t_0)$ soit minimale. Prouver que $\overrightarrow{OM(t_0)}$ est orthogonal à la tangente à la courbe en $M(t_0)$.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Lemniscate de Bernoulli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la courbe paramétrée $$t\mapsto \left(\frac{t}{1+t^4},\frac{t^3}{1+t^4}\right).$$
  1. Que déduit-on du changement de variables $t\mapsto 1/t$? Sur quel intervalle peut-on réduire l'étude?
  2. Construire la courbe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier et tracer la courbe de Lissajous $t\mapsto (\sin(2t),\cos(3t))$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $R>0$.
  1. Étudier et tracer la courbe paramétrée $t\mapsto (R(t-\sin t),R(1-\cos t))$.
  2. Une roue de rayon $R$ roule sans glisser à vitesse constante $R$ sur l'axe $(Ox)$. Montrer que le point de la roue qui au temps $t=0$ coïncide avec $O$ décrit une cycloïde.
Indication
Corrigé