$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les variables aléatoires discrètes

Calculs de lois, d'espérances, de variances
Enoncé
On lance une pièce de monnaie dont la probabilité de tomber sur pile vaut $p$. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers nécessaires pour obtenir $r$ fois pile. Quelle est la loi de $X$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3, et donc celle d'obtenir face est 1/3. Les lancers sont supposés indépendants, et on note $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux piles consécutifs. Pour $n\geq 1$, on note $p_n$ la probabilité $P(X=n)$.
  1. Expliciter les événements $(X=2)$, $(X=3)$, $(X=4)$, et déterminer la valeur de $p_2$, $p_3$, $p_4$.
  2. Montrer que l'on a $p_n=\frac{2}{9}p_{n-2}+\frac{1}{3}p_{n-1}$, $n\geq 4$.
  3. En déduire l'expression de $p_n$ pour tout $n$.
  4. Rappeler, pour $q\in]-1,1[$, l'expression de $\sum_{n=0}^{+\infty}nq^n$, et calculer alors $E(X)$. Interpréter.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Une certaine variable aléatoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p\in]0,1[$. On dispose d'une pièce amenant "pile" avec la probabilité $p$. On lance cette pièce jusqu'à obtenir pour la deuxième fois "pile". Soit $X$ le nombre de "face" obtenus au cours de cette expérience.
  1. Déterminer la loi de $X$.
  2. Montrer que $X$ admet une espérance, et la calculer.
  3. On procède à l'expérience suivante : si $X$ prend la valeur $n$, on place $n+1$ boules numérotées de 0 à $n$ dans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On note alors $Y$ le numéro obtenu. Déterminer la loi de $Y$. Calculer l'espérance de $Y$.
  4. On pose $Z=X-Y$. Donner la loi de $Z$ et vérifier que $Z$ et $Y$ sont indépendantes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ change d'état de la manière suivante :
  • à l'instant $t=0$, le spot $S_1$ est allumé.
  • si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_1$ est allumé, alors un (et un seul) des spots $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ s'allume à l'instant $t=n+1$, et ceci de manière équiprobable.
  • si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_k$ ($2\leq k\leq 4$) est allumé, le spot $S_{k-1}$ s'allume à l'instant $t=n+1$.
On pourra remarquer qu'à chaque instant, un et un seul spot est allumé. On note $X$ la variable aléatoire représentant le premier instant (s'il existe) où le spot $S_2$ s'allume.
  1. Écrire un algorithme simulant le fonctionnement de la variable aléatoire $X$. On supposera que l'on dispose d'une fonction ALEA(a,b) qui simule une loi uniforme discrète sur l'ensemble $\{a,a+1,\dots,b\}$.
  2. Calculer la probabilité pour que le spot $S_1$ reste constamment allumé jusqu'à l'instant $n$.
  3. Calculer la probabilité des événements $(X=1)$ et $(X=2)$.
  4. Calculer la probabilité des événements $(X=n)$, pour $n\geq 3$.
  5. Déterminer l'espérance de $X$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Tous les jours, Rémi fait le trajet entre son domicile et son travail. Un jour sur deux, il dépasse la vitesse autorisée. Un jour sur dix, un contrôle radar est effectué. On suppose que ces deux événements (dépassement de la vitesse limite et contrôle radar) sont indépendants, et que leur survenue un jour donné ne dépend pas de ce qui se passe les autres jours. Si le radar enregistre son excès de vitesse, Rémi perd un point sur son permis de conduite. On note $X_i$ le nombre de points perdus le jour $i$.
  1. Question préliminaire : soit $x\in ]-1,1[$ et $r\in\mathbb N$. Justifier que $$\sum_{n\geq r}n(n-1)\cdots (n-r+1)x^{n-r}=\frac{r!}{(1-x)^{r+1}}.$$
  2. Pour tout $n\geq 1$, on note $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$. Que représente $S_n$? Donner sa loi, son espérance, sa variance.
  3. En tant que jeune conducteur, Rémi ne dispose que de 6 points sur son permis. On note $T$ le nombre de jours de validité de son permis dans le cas où celui-ci lui est retiré. Sinon, on définit $T=0$. Quelle est la loi de $T$? Son espérance?
Indication
Corrigé
Loi de Poisson
Exercice 6 - Décroissance d'une loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ pour que la suite $(P(X=k))$ soit décroissante.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Maximum d'une loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$. Pour quelle(s) valeur(s) de $k\in\mathbb N$ la probabilité $P(X=k)$ est maximale?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Retrouver une loi connaissant son conditionnement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ et que la loi de $Y$ conditionnée par $(X=n)$ est la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, pour tout $n\in\mathbb N$. Quelle est la loi de $Y$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère une entreprise de construction produisant des objets sur deux chaines de montage $A$ et $B$ qui fonctionnent indépendemment l'une de l'autre. Pour une chaine donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes. On suppose que $A$ produit $60\%$ des objets et $B$ produit $40\%$ des objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine $A$ soit défectueux est $0.1$ alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la chaine $B$ soit défectueux est $0.2$.
  1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'événement "l'objet provient de la chaine A" .
  2. On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par $A $ est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda =20.$ On considère la variable aléatoire $X$ représentant le nombre d'objets défectueux produits par la chaine $A$ en une heure.
    1. Rappeler la loi de $Y$ ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de $Y$.
    2. Soient $k$ et $n$ deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle $P\left( X=k|Y=n\right) $. (On distinguera les cas $k\le n$ et $k>n$).
    3. En déduire, en utilisant le système complet d'événements $\left( Y=i\right) _{i\in \Bbb{N}},$ que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre 2 .
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Tirage et loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On tire un nombre entier naturel $X$ au hasard, et on suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $a>0$. Si $X$ est impair, Pierre gagne et reçoit $X$ euros de Paul. Si $X$ est pair supérieur ou égal à 2, Paul gagne et reçoit $X$ euros de Pierre. Si $X=0$, la partie est nulle. On note $p$ la probabilité que Pierre gagne et $q$ la probabilité que Paul gagne.
  1. En calculant $p+q$ et $p-q$, déterminer la valeur de $p$ et de $q$.
  2. Déterminer l'espérance des gains de chacun.
Indication
Corrigé
Loi géométrique
Exercice 11 - Variable aléatoire discrète sans mémoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $Y$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb N$. On dit que $Y$ est sans mémoire si, pour tous $n,m\in\mathbb N$, $$P(Y>n)>0\textrm{ et } P_{(Y>n)}(Y>n+m)=P(Y>m).$$
  1. On suppose que $Y$ suit une loi géométrique. Démontrer que $Y$ est sans mémoire. Interpréter ce résultat en considérant une suite d'épreuves répétées.
  2. Réciproquement, on suppose que $Y$ est sans mémoire. Démontrer que $P(Y>0)=1$ et qu'il existe $p\in\mathbb ]0,1[$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $P(Y>n)=(1-p)^n$.
  3. En déduire que $Y$ suit une loi géométrique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. Soit $$A=\left(\begin{array}{cc} X_1&1\\0&X_2\end{array}\right).$$ Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable?
Indication
Corrigé
Enoncé
On suppose qu'à la naissance, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est égale à $1/2$. On suppose que tous les couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garçon. On souhaite évaluer la proportion de garçons dans une génération de cette population. On note $X$ le nombre d'enfants d'un couple pris au hasard dans la population.
  1. Donner la loi de la variable aléatoire $X$.
  2. On suppose qu'une génération en âge de procréer est constituée de $N$ couples, et on note $X_1,\cdots,X_N$ le nombre d'enfants respectif de chaque couple. On note enfin $P$ la proportion de garçons issus de cette génération. Exprimer $P$ en fonction de $X_1,\dots,X_N$.
  3. Quelle est la limite de $P$ lorsque $N$ tend vers l'infini. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
Le service de dépannage d'un grand magasin dispose d'équipes intervenant sur appel de la clientèle. Pour des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec retard. On admet que les appels se produisent indépendamment les uns des autres, et que, pour chaque appel, la probabilité d'un retard est de 0,25.
  1. Un client appelle le service à 4 reprises. On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de fois où ce client a dû subir un retard.
    1. Déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance, sa variance.
    2. Calculer la probabilité de l'événement : "Le client a au moins subi un retard".
  2. Le nombre d'appels reçus par jour est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $m$. On note $Z$ le nombre d'appels traités en retard.
    1. Exprimer la probabilité conditionnelle de $Z=k$ sachant que $Y=n$.
    2. En déduire la probabilité de $"Z=k\textrm{ et }Y=n"$.
    3. Déterminer la loi de $Z$. On trouvera que $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $m\times0,25$.
  3. En 2020, le standard a reçu une succession d'appels. On note $U$ le premier appel reçu en retard. Quelle est la loi de $U$? Quelle est son espérance?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère une suite de parties indépendantes de pile ou face, la probabilité d'obtenir "pile" à chaque partie étant égale à $p$, où $p\in]0,1[$. Si $n\geq 1$, on note $T_n$ le numéro de l'épreuve amenant le $n-$ième pile. Enfin, on pose $A_1=T_1$ et $A_n=T_n-T_{n-1}$.
  1. Quelle est la loi de $T_1$? Donner la valeur de son espérance.
  2. Soit $n\geq 2$. Montrer que $A_1,\dots,A_n$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose de $n$ clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.
  1. Il essaie les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n'a pas convenu. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
  2. En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
Indication
Corrigé
Couple de variables aléatoires
Enoncé
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mtn^*$, telles que : $$P\big((X=i)\cap(Y=j)\big)=\frac{a}{2^{i+j}},$$ pour tous $i,j$ de $\mtn^*$.
  1. Calculer $a$.
  2. Déterminer les lois marginales de $X$ et $Y$.
  3. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $Z=\min(X,Y)$ et $q=1-p$. Soit en outre $n$ un entier strictement positif.
  1. Calculer $P(X\geq n)$.
  2. Calculer $P(Z\geq n)$. En déduire $P(Z=n)$. Quelle est la loi de $Z$?
  3. Les variables $X$ et $Z$ sont-elles indépendantes?
Indication
Corrigé
Enoncé
On suppose que le nombre $N$ d'enfants dans une famille suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. On suppose qu'à chaque naissance, la probabilité que l'enfant soit une fille est $p\in ]0,1[$ et celle que ce soit un garçon est $q=1-p$. On suppose aussi que les sexes des naissances successives sont indépendants. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de filles par familles, et $Y$ celle du nombre de garçons.
  1. Déterminer la loi conjointe du couple $(N,X)$.
  2. En déduire la loi de $X$ et celle de $Y$.
Indication
Corrigé
Inégalités, estimation
Enoncé
On jette 3600 fois un dé équilibré. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 soit compris entre 480 et 720.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $X_n/n$ approche $p$.
  1. Quelle est la loi de $X_n$? Sa moyenne? Sa variance?
  2. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P\left(\left|\frac{X_n}n-p\right|\geq\veps\right)\leq\frac 1{4n\veps^2}.$
  3. En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Majoration de probabilités et loi géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ un entier naturel et $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal G(1/n)$.
  1. Montrer que $P(X\geq n^2)\leq \frac 1n$.
  2. Montrer que $P(|X-n|\geq n)\leq 1-\frac 1n$. En déduire que $P(X\geq 2n)\leq 1-\frac 1n$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Une variante de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose que $X$ admet une espérance $E(X)=m$ et une variance $V(X)=\sigma^2$. On fixe $\alpha>0$.
  1. Soit $\lambda\geq 0$. Démontrer que $P(X-m\geq \alpha)=P(X-m+\lambda\geq \alpha+\lambda)$.
  2. Vérifier que $E((X-m+\lambda)^2)=\sigma^2+\lambda^2$.
  3. Montrer que, pour tout $\lambda>0$, $P(X-m\geq\alpha)\leq\frac{\sigma^2+\lambda^2}{\alpha^2+\lambda^2+2\lambda \alpha}$.
  4. En déduire que $P(X-m\geq\alpha)\leq \frac{\sigma^2}{\alpha^2+\sigma^2}.$
  5. Démontrer que $P(|X-m|\geq \alpha)\leq \frac{2\sigma^2}{\alpha^2+\sigma^2}.$ Quand obtient-on une meilleure inégalité que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev?
Indication
Corrigé
Fonction génératrice
Exercice 24 - Quand a-t-on une loi discrète infinie? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les réels $a$ et $k$ sont tels que la suite $(p_n)$ définie, pour $n\geq 0$, par $p_n=\left(\frac a{a+1}\right)^n k$ soit la loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. Donner alors la fonction génératrice d'une telle variable aléatoire.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Somme de deux lois de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$. Démontrer, à l'aide des fonctions génératrices, que $Z=X+Y$, suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 26 - Donné par une contrainte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\mathbb N^*$. On suppose qu'il existe $p\in ]0,1[$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $P(X=n)=pP(X\geq n)$. Déterminer la loi de $X$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Une autre expression de l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mtn$.
    1. Montrer que, pour tout $n\in\mtn^*$, on a : $$\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n).$$
    2. On suppose que $\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$ converge. Démontrer que $X$ admet une espérance.
    3. Réciproquement, on suppose que $X$ admet une espérance. Démontrer alors que $\big(nP(X>n)\big)_n$ tend vers 0, puis que la série $\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$ converge, et enfin que $$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k).$$
  2. Application : on dispose d'une urne contenant $N$ boules indiscernables au toucher numérotées de $1$ à $N$. On effectue, à partir de cette urne, $n$ tirages successifs d'une boule, avec remise, et on note $X$ le plus grand nombre obtenu.
    1. Que vaut $P(X\leq k)$? En déduire la loi de $X$.
    2. A l'aide des questions précédentes, donner la valeur de $E(X)$.
    3. A l'aide d'une somme de Riemann, démontrer que la suite $\left(\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac kN\right)^n\right)_N$ admet une limite (lorsque $N$ tend vers $+\infty$) que l'on déterminera.
    4. En déduire que $\lim_{N\to+\infty}\frac{E(X)}N=\frac{n}{n+1}.$
Corrigé