$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les suites et séries de fonctions

Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions qui converge simplement vers une fonction $f$ sur un intervalle $I$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
  1. Si les $f_n$ sont croissantes, alors $f$ aussi.
  2. Si les $f_n$ sont strictement croissantes, alors $f$ aussi.
  3. Si les $f_n$ sont périodiques, alors $f$ aussi.
  4. Si les $f_n$ sont continues en $a$, alors $f$ aussi.
Reprendre l'exercice en remplaçant la convergence simple par la convergence uniforme.
Corrigé
Convergence de suites de fonctions
Exercice 2 - Étude de convergence simple et uniforme détaillée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on pose $f_n(x)=1+x+\dots+x^{n-1}$.
  1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions $(f_n)$. On note $f(x)$ la limite de la suite $(f_n(x))$ lorsque cette limite existe.
  2. On pose, pour $x\in ]-1,1[$, $\varphi_n(x)=f(x)-f_n(x)$. Vérifier que $$\varphi_n(x)=\frac{x^n}{1-x}.$$
  3. Quelle est la limite de $\varphi_n$ en $1$? En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $]-1,1[$.
  4. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[-a,a]$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Convergence uniforme sur un intervalle plus petit... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $n\geq 1$ et $x\in ]0,1]$, $f_n(x)=nx^n\ln(x)$ et $f_n(0)=0$.
  1. Démontrer que $(f_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $f$ que l'on précisera. On note ensuite $g=f-f_n$.
  2. Étudier les variations de $g$.
  3. En déduire que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
  4. Soit $a\in ]0,1]$. En remarquant qu'il existe $n_0\in\mathbb N$ tel que $e^{-1/n}\geq a$ pour tout $n\geq n_0$, démontrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,a]$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Exemples de converge uniforme, ou non! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :
  1. $f_n(x)=e^{-nx}\sin(2nx)$ sur $\mtr^+$ puis sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
  2. $f_n(x)=\frac 1{(1+x^2)^n}$ sur $\mathbb R$, puis sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a\geq 0$. On définit la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^a x^n(1-x)$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0,1]$, mais que la convergence est uniforme si et seulement si $a<1.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose $f_n:x\mapsto ne^{-n^2x^2}$. Étudier la convergence simple de $(f_n)$ sur $\mathbb R$. Montrer la convergence uniforme sur $[a,+\infty[$, avec $a>0$. Étudier la convergence uniforme sur $]0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Convergence uniforme et dérivabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par $f_n(x)=\sqrt{x^2+\frac 1n}$. Démontrer que chaque $f_n$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$ et que la suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers une fonction $f$. $f$ est-elle $\mathcal C^1$ sur $\mathbb R$?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Permutation limite/intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^2x(1-nx)$ si $x\in [0,1/n]$ et $f_n(x)=0$ sinon.
  1. Étudier la limite simple de la suite $(f_n)$.
  2. Calculer $\int_0^1 f_n(t)dt$. Y-a-t-il convergence uniforme sur $[0,1]$?
  3. Étudier la convergence uniforme sur $[a,1]$ pour $a\in ]0,1]$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Exemples plus difficiles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme des suites de fonctions $(f_n)$ suivantes :
  1. $f_n(x)=\frac{\sin nx}{n\sqrt{x}}$ sur $\mtr_+$;
  2. $f_n(x)=(\sin x)^n \cos(x)$ sur $\mathbb R$.
  3. $f_n(x)=e^{\frac{(n-1)x}{n}}$ sur $\mathbb R$, puis sur $]-\infty,b]$ avec $b\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Etudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite $(f_n)$ de fonctions définies sur $\mtr_+$ par : $$f_n(x)=\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\textrm{ pour }x\in[0,n],\textrm{ et }0 \textrm{ ailleurs.}$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Approximation polynômiale de la racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite de fonctions $f_n:[0,1]\to\mathbb R$ par $f_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb N$ et tout $x\in I=[0,1]$, $$f_{n+1}(x)=f_n(x)+\frac12\left(x-(f_n(x))^2\right).$$
  1. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers la fonction $x\mapsto \sqrt x$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$0\leq \sqrt x-f_{n}(x)=\sqrt x\left(1-\frac{\sqrt x}{2}\right)^n.$$
  3. En déduire que la convergence est uniforme sur $I$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 12 - Convergence uniforme et fonctions bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions \emph{bornées}, $f_n:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$. Montrer que $f$ est bornée. Le résultat persiste-t-il si on suppose uniquement la convergence simple?
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Convergence simple et fonctions décroissantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions décroissantes définies sur $[0,1]$ telle que $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle. Montrer que la convergence est en fait uniforme.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Convergence uniforme et produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(f_n)$ et $(g_n)$ deux suites de fonctions définies sur un même intervalle $I$ et à valeurs dans $\mathbb R$. On suppose que $(f_n)$ et $(g_n)$ convergent uniformément sur $I$ vers respectivement $f$ et $g$. On suppose de plus que $f$ et $g$ sont bornées. Démontrer que $(f_ng_n)$ converge uniformément vers $fg$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Convergence uniforme et continuité uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions uniformément continues est elle-même uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Avec dérivée seconde bornée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^2$ telle que $f''$ est bornée. Démontrer que la suite de fonctions $(f_n)$ définie par $f_n(x)=n\big(f(x+1/n)-f(x)\big)$ converge uniformément vers $f'$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Limite uniforme de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction et $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers $f$.
  1. Justifier qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait $|P_n(x)-P_N(x)|\leq 1$.
  2. Que dire du polynôme $P_n-P_N$?
  3. En déduire que $f$ est nécessairement un polynôme.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_n)$ une \emph{suite croissante} (ie $f_n\leq f_{n+1}$) de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue. Pour $\veps>0$ et $n\geq 1$, on pose $$K_n(\veps)=\{x\in[a,b];\ |f(x)-f_n(x)|\geq \veps\}.$$
  1. Justifier que si pour tout $\veps>0$, il existe un entier $n$ tel que $K_n(\veps)=\varnothing$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.
  2. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Convergence uniforme des suites de fonctions convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$ avec $\alpha<\beta$, $M\geq 0$ et $(f_n)_{n\geq 0}$ une suite de fonctions $M$-lipschitziennes de $[\alpha,\beta]$ dans $\mathbb R$. Montrer que si $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $[\alpha,\beta]$, la convergence est en fait uniforme.
  2. Soient $]a,b[$ un intervalle ouvert, et $(f_n)$ une suite de fonctions convexes de $I$ dans $\mathbb R$ qui converge simplement vers $f$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment inclus dans $]a,b[$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Une drôle d'équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite $(u_n)$ de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ par $u_0(x)=1$ et pour tout $n\geq 0$, $$u_{n+1}(x)=1+\int_0^x u_n(t-t^2)dt.$$
  1. Montrer que, pour tout $x\in [0,1]$, $$0\leq u_{n+1}(x)-u_n(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$
  2. En déduire la convergence simple de la suite $(u_n)$ sur $[0,1]$. On note $u$ sa limite.
  3. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $[0,1]$ et que $u$ n'est pas identiquement nulle.
  4. Démontrer que $u$ est solution de l'équation différentielle $u'(x)=u(x-x^2)$.
Indication
Corrigé
Divers modes de convergence des séries de fonctions
Exercice 21 - Exemples et contre-exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
  1. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  3. Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
  4. En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.
  5. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
  6. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge normalement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  7. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ ne convergence pas normalement sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Exemples et contre-exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\in I=[0,1]$, $a\in\mathbb R$ et $n\in\mathbb N$, on pose $u_n(x)=n^a x^n(1-x)$.
  1. Étudier la convergence simple sur $I$ de la série de terme général $u_n$. On notera dans la suite $S$ la somme de la série.
  2. Étudier la convergence normale sur $I$ de la série de terme général $u_n$.
  3. On suppose dans cette question que $a=0$. Calculer $S$ sur $[0,1[$. En déduire que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$.
  4. On suppose $a>0$. Démontrer que la convergence n'est pas uniforme sur $I$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Convergence uniforme, convergence normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x\in\mathbb R$, on pose $u_n(x)=nx^2e^{-x\sqrt n}$.
  1. Démontrer que la série $\sum_n u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
  3. Démontrer que la convergence est normale sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
  4. La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb R_+$?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u_n(x)=(-1)^n\ln\left(1+\frac{x}{n(1+x)}\right)$ défini pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$.
  1. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1} u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
  3. La convergence est-elle normale sur $\mathbb R_+$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 2} u_n$, avec $u_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}$.
  1. Démontrer que $\sum_{n\geq 2}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Démontrer que la convergence n'est pas normale sur $\mathbb R_+$.
  3. Pour $x\in\mathbb R_+$, on pose $R_n(x)=\sum_{k\geq n+1}u_k(x)$. Démontrer que, pour tout $x>0$, $$0\leq R_n(x)\leq \frac{xe^{-x}}{\ln (n+1) (1-e^{-x})},$$ et en déduire que la série converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $g:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et bornée telle que $g(0)=0$. On considère la suite de fonctions définie sur $[0,+\infty[$ par $f_n(x)=g(x)e^{-nx}$.
    1. Étudier la convergence simple de la suite.
    2. Montrer que la suite converge uniformément sur tout intervalle $[a,+\infty[$, avec $a>0$.
    3. On fixe $\veps>0$. Montrer que l'on peut choisir $a>0$ tel que $|f_n(x)|\leq \veps$ pour tout $x\in[0,a]$ et pour tout $n\geq 1$. En déduire que la suite converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
  1. On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$.
    1. Démontrer qu'elle converge simplement sur $[0,+\infty[$ et normalement sur tout intervalle $[a,+\infty[$ avec $a>0$.
    2. Démontrer l'équivalence entre les deux propositions suivantes :
      1. la courbe représentative de $g$ est tangente à l'axe des abscisses à l'origine;
      2. la série de fonctions $\sum_{n\geq 0}g(x)e^{-nx}$ converge uniformément sur $[0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Etude de fonctions définies comme la somme d'une série
Enoncé
On considère la série de fonctions $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$.
  1. Prouver que $S$ est définie sur $I=]-1,+\infty[$.
  2. Prouver que $S$ est continue sur $I$.
  3. Prouver que $S$ est dérivable sur $I$, calculer sa dérivée et en déduire que $S$ est croissante sur $I$.
  4. Quelle est la limite de $S$ en $-1$? en $+\infty$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x>0$, on pose $\dis S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+nx}.$
  1. Justifier que $S$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
  2. Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
  3. Établir que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et déterminer $S'$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Tangente verticale à l'origine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout $t\in\mathbb R$, on pose $u_n(t)=\frac{\arctan(nt)}{n^2}$.
  1. Justifier que pour tout $t\in\mathbb R$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ est convergente. On note $S(t)$ sa somme.
  2. Démontrer que $S$ est une fonction continue sur $\mathbb R$ et impaire.
  3. Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$ (on rappelle que $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac 1{n^2}=\frac{\pi^2}6$).
  4. Quel est le sens de variation de $S$?
  5. Soit $N\in\mathbb N$. Démontrer qu'il existe un réel $t_0>0$ tel que, pour tout $t\in –]t_0,t_0[\backslash\{0\}$, on a $$\sum_{n=1}^N \frac{u_n(t)}t\geq \frac 12\sum_{n=1}^N\frac 1n.$$
  6. En déduire que la courbe représentative de $S$ admet une tangente verticale au point d'abscisse $0$.
  7. Tracer la courbe représentative de $S$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On appelle fonction $\zeta$ de Riemann la fonction de la variable $s\in\mathbb R$ définie par la formule $$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}.$$
  1. Donner le domaine de définition de $\zeta$ et démontrer qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.
  2. Prouver que $\zeta$ est continue sur son domaine de définition.
  3. Déterminer $\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)$.
  4. Montrer que pour tout entier $k\geq 1$ et tout $s>0$, on a $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^s}\leq\frac1{k^s}.$$ En déduire que $\zeta(s)\sim_{1^+}\frac{1}{s-1}$.
  5. Démontrer que $\zeta$ est convexe.
  6. Tracer la courbe réprésentative de $\zeta$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x\in \mathbb R$, on pose $u_n(x)=\frac{1}{n+n^2x}$.
  1. Étudier la convergence simple de la série $\sum_{n\geq 1} u_n(x)$. On note $S(x)$ sa somme.
  2. Démontrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
  3. Étudier la monotonie de $S$ sur $\mathbb R_+^*$.
  4. Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
  5. Justifier que $S$ admet une limite en $0$. Démontrer que, pour tout entier $N$, on a $$\lim_{x\to 0}S(x)\geq\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}.$$ En déduire la valeur de $\lim_{x\to 0}S(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nt}}{1+n^2}$ et on note $f$ sa somme.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$?
  2. Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb R^+$ et de classe $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$.
  3. On fixe $A>0$.
    1. Justifier l'existence d'un entier $N\geq 1$ tel que $$\sum_{n=1}^N \frac{n}{1+n^2}\geq A.$$
    2. En déduire qu'il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $h\in]0,\delta[$, $$\sum_{n=1}^N \frac{e^{-nh}-1}{h(1+n^2)}\leq -A+1.$$
    3. Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0, mais que sa courbe représentative admet une tangente verticale au point d'abscisse 0.
  4. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Limite en $+\infty$ par comparaison à une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $S(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n^2+x^2}$.
  1. Démontrer que $S$ définit une fonction continue sur $\mathbb R$.
  2. Soit $x>0$ et $n\geq 1$. Justifier que $$\int_{n}^{n+1}\frac{x}{x^2+t^2}dt\leq \frac{x}{x^2+n^2}\leq\int_{n-1}^n \frac{x}{x^2+t^2}dt.$$
  3. En déduire que $S$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Sur $I=]-1,+\infty[$, on pose $$S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac 1n-\frac 1{n+x}\right).$$
  1. Montrer que $S$ est définie et continue sur $I$.
  2. Étudier la monotonie de $S$.
  3. Calculer $S(x+1)-S(x)$.
  4. Déterminer un équivalent de $S(x)$ en $-1^+$.
  5. Établir que, pour tout $n\in\mathbb N$, $S(n)=\sum_{k=1}^n \frac 1k$.
  6. En déduire un équivalent de $S(x)$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_n)_{n\geqslant 1}$ la suite de fonctions définies sur $[-1,1]$ par $f_n(t)=\dfrac{1}{n}\, t^n \, \sin nt.$
  1. Montrer que la série $\sum \, f_n$ converge simplement sur $]-1,1[$.
  2. Soit $a \in ]0,1[.$
    1. Montrer que la série $\sum \, f'_n$ converge normalement sur $[-a,a].$
    2. En déduire que la fonction $f=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $]-1,1[$ et montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $$f'(x)=\frac{\sin x+x\cos x-x^2}{1-2x\cos x+x^2}.$$
    3. Montrer que $f(t)=\arctan \dfrac{t \, \sin t}{1- t \, \cos t}$ pour $t \in ]-1,1[.$
  3. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$, $A_n(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^n \, t^k \, \sin k \,t$.
    1. Montrer qu'il existe $M>0$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [-1,1]$ on ait $|A_n(t)|\leqslant M.$
    2. Montrer en écrivant $t^k \, \sin (k \, t)=A_k(t)-A_{k-1}(t)$ que $$\sum_{k=1}^n \, \dfrac{t^k \, \sin k \, t}{k}=\sum_{k=1} ^{n-1} \, \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}+\dfrac{A_n(t)}{n}.$$
    3. En déduire que la série $\sum_n f_n$ converge simplement sur $[-1,1]$ et que $f(t)=\displaystyle \sum_{k=1}^{+\infty} \dfrac{A_k(t)}{k(k+1)}$ sur $[-1,1]$. Montrer que $f$ est continue sur cet intervalle.
    4. En déduire les valeurs de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{\sin n}{n}$ et de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \, \frac{(-1)^n \,\sin n}{n}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la fonction $\displaystyle \mu(x)=\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^x}.$
  1. Quel est le domaine de définition de $\mu$?
  2. Montrer que $\mu$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine de définition.
  3. Démontrer que $\mu$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
  4. On souhaite démontrer que $\mu$ admet une limite en 0.
    1. Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$-1+2\mu(x)=\sum_{n\geq 1}(-1)^{n+1}\left(\frac1{n^x}-\frac{1}{(n+1)^x}\right).$$
    2. En déduire que pour tout $x>0$, on a $$0\leq -1+2\mu(x)\leq 1-\frac{1}{2^x}.$$
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la série de fonctions $\sum_{n\geq 2}f_n$, avec $\dis f_n(x)=\frac{xe^{-nx}}{\ln n}.$ On note $S$ sa somme.
  1. Etudier la convergence simple, normale, uniforme de cette série sur $[0,+\infty[$.
  2. Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
  3. Montrer que $S$ n'est pas dérivable à droite en 0.
  4. Montrer que, pour tout $k$, $S(x)=o(x^{-k})$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Théorème de Weierstrass
Exercice 38 - Théorème des moments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que, pour tout $k\geq 0$, on a $\int_a^b f(t) t^k dt=0$.
  1. Démontrer que $\int_a^b f^2(t)dt=0$.
  2. En déduire que $f$ est la fonction nulle.
Indication
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