$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les séries

Convergence de séries à termes positifs
Enoncé
Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n}{n^3+1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{\sqrt n}{n^2+\sqrt n}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \dis u_n=n\sin(1/n)\\ \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&& \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\sqrt {n+1}-\sqrt{n}}{n}&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{(-1)^n +n}{n^2+1}\\ \displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 8. \ u_n=\frac{\ln(n^n)}{n!}&& \displaystyle \mathbf 9.\ u_n=\ln\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\right) \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{n}}&& \displaystyle \mathbf 2.\ u_n=a^n n!,\ a\in\mathbb R&&\displaystyle \mathbf 3. \ u_n=ne^{-\sqrt n}\\ \displaystyle {\bf 4.} \ u_n=\frac{\ln(n^2+3)\sqrt{2^n+1}}{4^n}.&& \displaystyle {\bf 5}.\ \ u_n=\frac{\ln n}{\ln(e^n -1)}&& \displaystyle \mathbf 6.\ \left(\frac 1n\right)^{1+\frac 1n}. \end{array}$$
Corrigé
Exercice 3 - Avec des paramètres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R && \displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt[3]{n^3+an}-\sqrt{n^2+3},\ a\in\mathbb R \end{array}$$
Corrigé
Exercice 4 - Avec des paramètres - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer en fonction des paramètres la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\left(n\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{n^\alpha},\ \alpha\geq 0&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1}{n^\alpha}\left((n+1)^{1+1/n}-(n-1)^{1-1/n}\right),\ \alpha\in\mathbb R. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes :
  1. $u_n=1/n$ si $n$ est un carré, et 0 sinon.
  2. $u_n=\arctan(n+a)-\arctan(n)$, avec $a>0$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Cas limite de la règle de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit, pour $n\geq 1$ et $a>0$, la suite $u_n=\frac{a^n n!}{n^n}$.
  1. Étudier la convergence de la série $\sum_n u_n$ lorsque $a\neq e$.
  2. Lorsque $a=e$, prouver que, pour $n$ assez grand, $u_{n+1}/u_n\geq 1$. Que dire de la nature de la série $\sum_n u_n$?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Cas limite de la règle de d'Alembert [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit, pour tout entier $n\geq 1$, $\dis u_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-1)}{2\times 4\times6\times\dots\times(2n)}$. Quelle est la limite de $u_{n+1}/u_n$? Montrer que la suite $(nu_n)$ est croissante. En déduire que la série de terme général $u_n$ est divergente.
  2. Soit, pour tout entier $n\geq 2$, $\dis v_n=\frac{1\times 3\times 5\times\dots\times (2n-3)}{2\times 4\times6\times\dots\times(2n)}$. Quelle est la limite de $v_{n+1}/v_n$? Montrer que, si $1<\alpha<3/2$, on a $(n+1)^\alpha v_{n+1}\leq n^\alpha v_n$. En déduire que la série de terme général $v_n$ converge.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf 1.\ u_n=\frac{1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}}{\ln(n!)}&& \displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\int_0^{\pi/n}\frac{\sin^3 x}{1+x}dx\\ \displaystyle\mathbf 3.\ u_1\in\mathbb R,\ u_{n+1}=e^{-u_n}/n^\alpha, \alpha\in\mathbb R. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Série des inverses des nombres premiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(p_k)_{k\geq 1}$ la suite ordonnée des nombres premiers. Le but de l'exercice est d'étudier la divergence de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$. Pour $n\geq 1$, on pose $V_n=\prod_{k=1}^n \frac{1}{1-\frac1{p_k}}$.
  1. Montrer que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la suite $(\ln V_n)$ est convergente.
  2. En déduire que la suite $(V_n)$ est convergente si et seulement si la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$ est convergente.
  3. Démontrer que $$V_n=\prod_{k=1}^n\left(\sum_{j\geq 0}\frac{1}{p_k^j}\right).$$
  4. En déduire que $V_n\geq\sum_{j=1}^n \frac{1}j$.
  5. Quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k}$?
  6. Pour $\alpha\in\mathbb R$, quelle est la nature de la série $\sum_{k\geq 1}\frac{1}{p_k^\alpha}$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On note $A$ l'ensemble des entiers naturels non-nuls dont l'écriture décimale ne comporte pas de 9. On énumère $A$ en la suite croissante $(k_n)$. Quelle est la nature de la série $\sum_n \frac1{k_n}$?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Produit de racines carrées et maximum [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites réelles positives. On suppose que les deux séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ convergent. Prouver la convergence de $\sum_n \sqrt{u_nv_n}$ et de $\sum_n \max(u_n,v_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n u_n$ une série à termes positifs.
  1. On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge.
  2. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Prouver que, pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\sum_n u_n^\alpha$ diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Deux séries de même nature [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs. On pose $v_n=\frac{u_n}{1+u_n}$.
  1. Prouver que la fonction $x\mapsto \frac{x}{1+x}$ est croissante sur $[0,+\infty[$.
  2. Démontrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Terme général positif et décroissant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite positive et décroissante. Prouver que si la série $\sum_n u_n$ est convergente, alors $(nu_n)$ tend vers 0.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite décroissante positive. Montrer que les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n 2^nu_{2^n}$ sont de même nature.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Règle de Raabe-Duhamel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs telle qu'il existe $a\in\mathbb R$ vérifiant $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac an+o\left(\frac1n\right).$$
  1. On suppose $a>1$. Soit $b\in]1,a[$ et posons $v_n=\frac1{n^b}$. Comparer $u_n$ et $v_n$. En déduire que $\sum_n u_n$ converge si $a>1$.
  2. Démontrer que $\sum_n u_n$ diverge si $a<1$.
  3. En utilisant les séries de Bertrand, montrer que le cas $a=1$ est douteux.
  4. On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right).$ On pose $v_n=\ln(nu_n)$ et $w_n=v_{n+1}-v_n$.
    1. Montrer que $w_n=O\left(\frac1{n^2}\right)$.
    2. En déduire que $u_n\sim \frac{\lambda}{n}$ avec $\lambda>0$ et que $\sum u_n$ est divergente.
Indication
Corrigé
Convergence de séries à termes quelconques
Enoncé
Étudier la nature des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf 1.\ u_n=\frac{\sin n^2}{n^2}&&\displaystyle\mathbf 2.\ u_n=\frac{(-1)^n\ln n}{n}\\ \displaystyle\mathbf 3.\ u_n=\frac{\cos (n^2\pi)}{n\ln n} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to\mtr$ une fonction continue. Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n}\int_0^1 t^nf(t)dt$ est convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Une erreur classique... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
  2. Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+\frac{(-1)^n}{n\sqrt n}+o\left(\frac 1{n\sqrt n}\right)$.
  3. Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
  4. Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la convergence des séries suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf 1.\ u_n=\ln\left(1+\frac{(-1)^n}{2n+1}\right)&&\displaystyle\mathbf 2. \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^\alpha+(-1)^n}},\ \alpha>0\\ \displaystyle\mathbf 3. \frac{(-1)^n}{n^\alpha+(-1)^nn^\beta},\ \alpha,\beta\in\mathbb R. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Discuter la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{a^n2^{\sqrt n}}{2^{\sqrt n}+b^n},$$ où $a$ et $b$ sont deux nombres complexes, $a\neq 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Discussion suivant un paramètre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Suivant la position du point de coordonnées $(x,y)$ dans le plan, étudier la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{x^n}{y^n+n}.$$
Corrigé
Exercice 23 - Reste d'une série alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On fixe $\alpha>0$ et on pose $u_n=\sum_{p=n}^{+\infty}\frac{(-1)^p}{p^\alpha}$. Le but de l'exercice est démontrer que la série de terme général $u_n$ converge.
  1. Soit $n\geq 1$ fixé. On pose $$v_p=\frac{1}{(p+n)^\alpha}-\frac{1}{(p+n+1)^\alpha}.$$ Démontrer que la suite $(v_p)$ décroît vers 0. En déduire la convergence de $\sum_{p=0}^{+\infty}(-1)^pv_p$. Quel est le signe de sa somme?
  2. En appliquant le critère des séries alternées, démontrer que la série de terme général $(u_n)$ converge.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série $\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$.
  1. Montrer que, pour tout $(p,q)\in\mathbb N^2$ tel que $p\leq q$, on a : $$\sum_{k=p}^q u_kv_k=s_qv_q-s_{p-1}v_p+\sum_{k=p}^{q-1}s_k(v_k-v_{k+1}).$$
  2. Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeurs dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente.
  3. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier les séries de terme général :
  1. $u_n=\sin(\pi e n!)$ et $v_n=\sin\left(\frac{\pi}{e}n!\right).$
  2. $\displaystyle u_n=\frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor }}{n^\alpha}$, pour $\alpha\in\mtr.$
Indication
Corrigé
Comparaison à une intégrale
Exercice 26 - Somme partielle des séries de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha\in\mathbb R$.
  1. Pour $\alpha<1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
  2. Pour $\alpha=1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Reste d'une série de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha>1$. On note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{n^{\alpha}}.$$
  1. Soit $a\in\mathbb R$. Déterminer $$\lim_{x\to+\infty}\int_a^{x}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
  2. En déduire un équivalent simple de $R_n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer un équivalent simple de $\ln(n!)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha,\beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général $$u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}.$$
  1. Démontrer que la série converge si $\alpha>1$.
  2. Traiter le cas $\alpha<1$.
  3. On suppose que $\alpha=1$. On pose $T_n=\int_2^n \frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$.
    1. Montrer si $\beta\leq 0$, alors la série de terme général $u_n$ est divergente.
    2. Montrer que si $\beta>1$, alors la suite $(T_n)$ est bornée, alors que si $\beta\leq 1$, la suite $(T_n)$ tend vers $+\infty$.
    3. Conclure pour la série de terme général $u_n$, lorsque $\alpha=1$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Par comparaison à une intégrale, donner un équivalent de $u_n=\sum_{k=1}^n \ln^2(k)$. La série de terme général $\frac 1{u_n}$ est-elle convergente?
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}.$
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Comparaison à une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une application croissante, continue et positive de $]0,1]$ dans $\mathbb R$. On pose, pour $n\geq 1$, $u_n=f(e^{-n})$ et $v_n=\frac1nf\left(\frac1n\right)$. Démontrer que la convergence de la série $\sum_n u_n$ est équivalente à la convergence d'une intégrale impropre. Faire de même pour la série $\sum_n v_n$. En déduire que la série $\sum_n u_n$ converge si et seulement si la série $\sum_n v_n$ converge.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Une convergence étonnante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs telle que $\sum_n u_n$ diverge. On note $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$. A l'aide d'une comparaison à une intégrale, démontrer que pour tout $\alpha>1$, la série $\sum_n \frac{u_n}{S_n^\alpha}$ est convergente.
Indication
Corrigé
Calcul de sommes
Enoncé
Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ (pour $n\geq 2$) est convergente, et calculer sa somme.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Avec des exponentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Sachant que $e=\sum_{n\geq 0}\frac1{n!}$, déterminer la valeur des sommes suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n+1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \dis \sum_{n\geq 0}\frac{n^2-2}{n!}&& \displaystyle \mathbf 3.\ \sum_{n\geq 0}\frac{n^3}{n!}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Série harmonique alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange sur la fonction $t\mapsto {\ln(1+t)}$, montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n}$ est convergente et de somme $\ln 2$.
  2. Sachant que $\dis\frac{1}{k}=\int_0^1 t^{k-1}dt$, retrouver d'une autre façon le résultat précédent.
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Élimination imprévue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence et calculer la somme de la série de terme général $\dis \arctan\left(\frac{1}{k^2+k+1}\right).$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\sum_n |u_n|$ et $\sum_n n|u_n|$ convergent. On note $v_n=\sum_{k=n}^{+\infty}u_k$.
  1. Montrer que $nv_n\to 0$.
  2. En déduire que $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n=\sum_{n=1}^{+\infty}nu_n$.
  3. Application : pour $|r|<1$, calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}nr^n$.
Indication
Corrigé
Estimation des sommes partielles et du reste
Enoncé
Écrire un algorithme donnant un encadrement à $10^{-5}$ près de $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n\ln(n+1)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit pour $n\geq 1$, $u_n=\frac 1{(2n-1)5^{2n-1}}$.
  1. Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.
  2. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_{k}$. Montrer que $R_n\leq \frac{25}{24}u_{n+1}$.
  3. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ à 0,001 près.
Indication
Corrigé
Exercice 41 - Développement asymptotique de la série harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$.
  1. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$.
  2. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite.
  3. Soit $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$.
  4. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Somme et développement asymptotique de la série des inverses des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de la somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$
    1. Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
    2. En déduire que $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}.$$
  1. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$
  2. On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$
  3. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi (at^2+bt)\cos(nt)dt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\pi(at^2+bt)A_n(t)=S_n-\frac{\pi^2}6.$$
  4. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$
  5. Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left(\frac 1n\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 43 - Décroissance très rapide à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction de classe $C^1$ telle que $f'/f$ tend vers $-\infty$ en $+\infty$. Montrer que la série converge et donner un équivalent, lorsque $n\to+\infty$, de $R_n=\sum_{k\geq n}f(k)$.
Indication
Corrigé
Exercice 44 - Reste de certaines séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de déterminer un équivalent du reste de certaines séries alternées. On considère $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs décroissant vers $0$, et on considère la série $\sum_{n\geq 0}(-1)^n u_n$ dont on rappelle qu'elle est convergente. On note $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}(-1)^k u_k$ son reste. On suppose de plus que la suite $(u_n)$ vérifie les deux conditions suivantes : $$\forall n\geq0,\ u_{n+2}-2u_{n+1}+u_n\geq 0\qquad\textrm{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=0.$$
  1. Démontrer que pour tout $n\geq 0$, $|R_n|+|R_{n+1}|=u_{n+1}$.
  2. Démontrer que la suite $(|R_n|)$ est décroissante.
  3. En déduire que $R_n\sim_{+\infty}\frac{(-1)^{n+1} u_n}2.$
Indication
Corrigé
Exercice 45 - Série divergente divisée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positive. On suppose que la série de terme général $a_n$ est divergente, et on note $S_n=a_0+\dots+a_n$, $b_n=a_{n+1}/S_n$. Quelle est la nature de la série de terme général $b_n$?
Indication
Corrigé
Applications
Enoncé
  1. Soit $(x_n)$ une suite de réels et soit $(y_n)$ définie par $y_n=x_{n+1}-x_n$. Démontrer que la série $\sum_n y_n$ et la suite $(x_n)$ sont de même nature.
  2. On pose $(u_n)$ la suite définie par $\dis u_n=\frac{n^ne^{-n}\sqrt{n}}{n!}$. Donner la nature de la série de terme général $\dis v_n=\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$.
  3. En déduire l'existence d'une constante $C>0$ telle que : $$n!\sim_{+\infty} C\sqrt{n}n^ne^{-n}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n )$ une suite de réels strictement positifs telle que $$\frac{{u_{n + 1} }}{{u_n }} = 1 + \frac{\alpha }{n} + O\left( {\frac{1}{{n^2 }}} \right)\text{, avec }\alpha \in \mathbb{R}.$$ On fixe $\beta\in\mathbb R$ et on pose $$v_n=\ln\big((n+1)^\beta u_{n+1}\big)-\ln\big(n^\beta u_n\big).$$
  1. Pour quel(s) $\beta \in \mathbb{R}$ y a-t-il convergence de la série de terme général $v_n$?
  2. En déduire qu'il existe $A \in \mathbb{R}^{ + \star} $ pour lequel $u_n \sim_{+\infty} An^\alpha.$
Indication
Corrigé
Exercice 48 - Estimation asymptotique d'un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P_n=\prod_{k=2}^n \left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt k}\right)$. Démontrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $P_n\sim_{+\infty}\frac{e^\lambda}n$.
Indication
Corrigé
Exercice 49 - Étude d'une suite récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0\in]0,\pi[$ et $u_{n+1}=\sin u_n$, pour $n\geq 0$.
  1. Etudier la convergence de $(u_n)$.
  2. Montrer que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1. Calculer la limite de $\frac{u_n+u_{n+1}}{u_n}$.
  3. Montrer que $\frac{u_n-u_{n+1}}{u_n^3}$ tend vers 1/6.
  4. En déduire que $\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}$ tend vers 1/3.
  5. Montrer que l'on a $\lim(\sqrt{n}u_n)=\sqrt{3}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On rappelle que $\cos(1)$ est défini par la série $\cos(1)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}$. Montrer que $\cos(1)$ est irrationnel.
Indication
Corrigé