$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur la réduction d'endomorphismes

Enoncé
  1. En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
  2. Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable.
  3. Si $A^2$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
  4. Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur propre.
  5. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Corrigé
Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces stables
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $D$ l'endomorphisme de $E$ qui à $f$ associe $f'$. Déterminer les valeurs propres de $D$ et les sous-espaces propres associés.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb C^\mathbb N$ l'espace des suites à coefficients complexes, et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ qui à une suite $(u_n)$ associe la suite $(v_n)$ définie par $v_0=u_0$ et pour tout $n\geq 1$, $$v_n=\frac{u_n+u_{n-1}}2.$$ Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Sous-espaces stables et endomorphismes qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $u,v$ deux endomorphismes de $E$.
  1. Démontrer que si $u\circ v=v\circ u$, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$. La réciproque est-elle vraie?
  2. On suppose désormais que $u$ est un projecteur. Démontrer que $u\circ v=v\circ u$ si et seulement si $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont stables par $v$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Une CNS pour que deux endomorphismes commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g$ deux endomorphismes du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $f$ est diagonalisable. Démontrer que $f$ et $g$ commutent si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On suppose que $u$ et $v$ commutent. Démontrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre commun.
Indication
Corrigé
Diagonalisation de matrices
Enoncé
Diagonaliser les matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&-1\\ 3&-2&0\\ -2&2&1 \end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc} 0&3&2\\ -2&5&2\\ 2&-3&0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&-1&2 \end{array}\right).$$ On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres.
Indication
Corrigé
Enoncé
Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable : $$A=\left(\begin{array}{ccc} \pi&1&2\\ 0&\pi&3\\ 0&0&\pi \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $m$ un nombre réel et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\left(\begin{array}{rcl} 1&0&1\\ -1&2&1\\ 2-m&m-2&m \end{array}\right).$$
  1. Quelles sont les valeurs propres de $f$?
  2. Pour quelles valeurs de $m$ l'endomorphisme est-il diagonalisable?
  3. On suppose $m=2$. Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Matrices élémentaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Parmi les matrices élémentaires $E_{i,j}$, lesquelles sont diagonalisables???
Corrigé
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 4&4&4&4 \end{array}\right)$.
  1. Déterminer, sans calculer le polynôme caractéristique, les valeurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable?
  2. Plus généralement, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de rang 1 soit diagonalisable.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $A=\left(\begin{array}{cc}0&a\\b&0\end{array}\right)$ dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
  2. Soient $p\geq 1$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_{2p}$ des réels. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{2p}(\mathbb R)$ tel que $a_{i,2p+1-i}=\alpha_i$ si $1\leq i\leq 2p$ et $a_{i,j}=0$ sinon. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $|a|\neq |b|$. On considère la matrice $$A=\left(\begin{array}{ccccc} a&b&a&b&\dots\\ b&a&b&a&\dots\\ a&b&a&b&\dots\\ b&a&b&a&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}\right).$$
  1. Calculer le rang de $A$. En déduire que $0$ est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
  2. Déterminer deux vecteurs propres associées à deux autres valeurs propres, et en déduire que $A$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit, pour $n\in\mathbb N$, la matrice $M_n$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les coefficients diagonaux sont égaux à $1,2,\dots,n$ et les autres coefficients sont tous égaux à 1. Soit $P_n$ le polynôme caractéristique de $M_n$.
  1. Démontrer que $P_{n+1}(X)=(n-X)P_n(X)+(-1)^{n} X(X-1)\dots(X-(n-1))$.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$, $(-1)^k P_n(k)>0$.
  3. En déduire que $M_n$ est diagonalisable et que chaque intervalle $]0,1[$, $]1,2[,\dots,]n-1,+\infty[$ contient exactement une valeur propre de $M_n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$, soit $$A_n=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\dots&0\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\dots&0&1&0 \end{array}\right)$$ et $P_n(x)=\det(xI_n-A_n)$ son polynôme caractéristique.
  1. Démontrer que pour tout $n\geq 2$, on a $$P_n(x)=xP_{n-1}(x)-P_{n-2}(x).$$ Calculer $P_1$ et $P_2$.
  2. Pour tout $x\in ]-2,2[$, on pose $x=2\cos \alpha$ avec $\alpha\in ]0,\pi[$. Démontrer que $$P_n(x)=\frac{\sin((n+1)\alpha)}{\sin\alpha}.$$
  3. En déduire que $A_n$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère, pour $n\geq 4$, la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que $a_{i,j}=1$ si $i=1$ ou $i=n$ ou $j=1$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon. Démontrer que $A$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ une matrice diagonalisable et $B=\left(\begin{array}{c|c}0&A \\\hline I_n&0\end{array}\right)\in\mathcal M_{2n}(\mathbb C)$. Donner les valeurs propres de $B$ et la dimension des sous-espaces propres correspondants. \`A quelle condition $B$ est-elle diagonalisable?
Indication
Corrigé
Application de la diagonalisation
Exercice 18 - Calcul d'une puissance $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice suivante : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 3&0&-1\\ 2&4&2\\ -1&0&3 \end{array} \right).$$ Démontrer que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A=PDP^{-1}$. En déduire la valeur de $A^n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cc} -5&3\\ 6&-2 \end{array}\right).$ Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. En déduire qu'il existe une matrice $B$ telle que $B^3=A$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Application à des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $\left(\begin{array}{ccc} -4&-6&0\\ 3&5&0\\ 3&6&5\end{array}\right)$.
  1. Diagonaliser $A$.
  2. Calculer $A^n$ en fonction de $n$.
  3. On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par leur premier terme $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&-4u_n-6v_n\\ v_{n+1}&=&3u_n+5v_n\\ w_{n+1}&=&3u_n+6v_n+5w_n \end{array} \right.$$ pour $n\geq 0$. On pose $X_n=\left( \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. Exprimer $X_{n+1}$ en fonction de $A$ et $X_n$. En déduire $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Commutant d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array}\right).$$
  1. Diagonaliser $A$.
  2. En déduire toutes les matrices $M$ qui commutent avec $A$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les matrices $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&4\\ 1&0&-8\\ 0&1&5 \end{array}\right)\textrm{ et } B=\left(\begin{array}{ccc} 2&1&1\\ 0&0&-2\\ 0&1&3 \end{array}\right)$$ sont-elles semblables?
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Application au calcul d'un déterminant circulant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_0,\dots,a_{n-1}$ des nombres complexes, et soient $A,J$ les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ définies par $$A=\left( \begin{array}{cccc} a_0&a_1&\dots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ a_1&\dots&a_{n-1}&a_0 \end{array}\right),\ J=\left( \begin{array}{cccc} 0&1&0&\dots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&1\\ 1&0&\dots&0 \end{array}\right).$$
  1. Démontrer que $J$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
  2. Déterminer un polynôme $Q$ tel que $A=Q(J)$.
  3. En déduire le déterminant de $A$.
Indication
Corrigé
Trigonalisation de matrices
Enoncé
On considère la matrice $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&2 \end{array}\right).$$ A est-elle diagonalisable? Montrer que $A$ est semblable à la matrice $$B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Trigonalisation - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trigonaliser les matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&4&-2\\ 0&6&-3\\ -1&4&0 \end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{ccc} 2&-1&-1\\ 2&1&-2\\ 3&-1&-2 \end{array}\right).$$
Corrigé
Réduction d'autres endomorphismes
Exercice 26 - Un endomorphisme sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soit $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\phi( P)= P-(X+1)P'$. Justifier que $\phi$ est diagonalisable et donner les valeurs propres de $\phi$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Endomorphisme de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $L$ l'endomorphisme de $\mathbb R_n[X]$ défini par $L(P)=X^n P\left(\frac 1X\right)$. Démontrer que $L$ est un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb R_n[X]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tels que $AB-BA=A$. Le but de l'exercice est de démontrer que $A$ est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $k\geq 1$ tel que $A^k=0$.
  1. Montrer que, pour tout $k\geq 0$, on a $A^k B-BA^k=kA^k$.
  2. On considère \begin{eqnarray*} \phi_B:\mathcal M_n(\mathbb R)&\to&\mathcal M_n(\mathbb R)\\ M&\mapsto&MB-BM. \end{eqnarray*} Vérifier que $\phi_B$ est un endomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  3. Justifier que si $A^k\neq 0$, alors $k$ est une valeur propre de $\phi_B$.
  4. En déduire l'existence d'un entier $k>0$ tel que $A^k=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E)$. On considère l'endomorphisme $\phi$ de $\mathcal L(E)$ défini par $\phi(g)=f\circ g$.
  1. Démontrer que toute valeur propre de $f$ est une valeur propre de $\phi$ puis, si $\lambda$ est une valeur propre de $f$, déterminer $E_{\lambda}(\phi)$.
  2. En déduire que si $f$ est diagonalisable, alors $\phi$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Reste de la division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soient $A,B$ deux éléments de $E$ premiers entre eux tels qu'en outre $B$ est scindé à racines simples. On notera $x_1,\dots,x_p$ ses racines. On note $\phi$ l'application de $E$ dans lui-même qui à un polynôme $P$ associe le reste de $AP$ dans la division euclidienne par $B$.
  1. Démontrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un isomorphisme?
  2. Démontrer que $0$ est une valeur propre de $\phi$ et déterminer le sous-espace propre associé.
  3. Démontrer que, pour chaque $k=1,\dots,p$, $P_k(X)=\prod_{j\neq k}(X-x_j)$ est un vecteur propre de $\phi$.
  4. En déduire que $\phi$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Diagonalisation - en théorie
Exercice 31 - $f\circ g$ et $g\circ f$ diagonalisables? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $f,g\in\mathcal L(E)$. On souhaite étudier si le fait que $f\circ g$ est diagonalisable entraîne que $g\circ f$ est diagonalisable. On fixe $\mathcal B$ une base de $E$ et on désigne par $A$ (resp. $B$) la matrice de $f$ (resp. $g$) dans cette base.
  1. Dans cette question, on suppose $f$ et $g$ inversibles.
    1. En utilisant $\det(BAB-\lambda B)$, démontrer que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
    2. Soit $\lambda$ une valeur propre de $f\circ g$, et soit $E_\lambda$ (resp. $F_\lambda$) l'espace propre de $f\circ g$ (resp. de $g\circ f$) associé à $\lambda$. Démontrer les inclusions $$g(E_\lambda)\subset F_\lambda\textrm{ et }f(F_\lambda)\subset E_\lambda.$$
    3. Que peut-on en déduire sur les dimensions des espaces $E_\lambda$ et $F_\lambda$?
    4. Montrer que si $f\circ g$ est diagonalisable, alors $g\circ f$ est diagonalisable.
  2. Dans cette question, on suppose maintenant $f$ et $g$ quelconques.
    1. Montrer que si $f\circ g$ a une valeur propre nulle, il en est de même de $g\circ f$.
    2. Soit $\alpha\in\mathbb C\backslash\{0\}$ tel que $AB-\alpha I$ est inversible. On note $C$ son inverse. Vérifier que $$(BA-\alpha I)(BCA-I)=\alpha I.$$ Que peut-on en déduire pour $\det(BA-\alpha I)$?
    3. Déduire de ce qui précède que $f\circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres.
    4. Donner un exemple simple de matrices $A$ et $B$ tel que $AB$ est diagonalisable, et $BA$ n'est pas diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Base de matrices diagonalisables... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Existe-t-il une base de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ constituée de matrices diagonalisables dans $\mathbb R$?
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Diagonalisation simultanée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie.
  1. Soient $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$. Démontrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables.
  2. Plus généralement, soit $u_1,\dots,u_m$ une famille d'endomorphismes diagonalisables de $E$ commutant deux à deux, $m\geq 1$. Montrer qu'il existe une base de $E$ diagonalisant tous les $u_i$.
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Diagonalisation et sous-espaces stables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et soit $u\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de $E$ possède un supplémentaire stable par $u$.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Dimension du commutant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On note $\mathcal C_f$ le sous-espace vectoriel des endomorphismes de $E$ commutant avec $f$.
  1. Démontrer que $g\in\mathcal C_f$ si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
  2. En déduire que $\dim(\mathcal C_f)=\sum_{\lambda\in\textrm{sp}(f)}\textrm{mult}(\lambda)^2$, où $\textrm{mult}(\lambda)$ désigne la multiplicité de la valeur propre $\lambda$.
  3. On suppose en outre que les valeurs propres de $f$ sont simples. Démontrer que $(Id,f,\dots,f^{n-1})$ est une base de $\mathcal C_f$.
Indication
Corrigé
Autres réductions - Matrices semblables
Exercice 36 - Endomorphisme cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On suppose que $E$ et $\{0\}$ sont les seuls sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$.
  1. $u$ possède-t-il des valeurs propres?
  2. Démontrer que pour tout $x\in E\backslash\{0_E\}$, la famille $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est une base de $E$.
  3. Montrer que la matrice de $u$ dans la base $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est indépendante du choix de $x$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ non nulle tel que $A^2=0$ et soit $r$ le rang de $A$. Démontrer que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{cc}0&I_r\\0&0\end{array}\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 38 - Réduction des endomorphismes anti-involutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^2=-Id$.
  1. Donner un exemple de tel endomorphisme sur $\mtr^2$.
  2. Montrer que $f$ n'a pas de valeurs propres réelles. En déduire que la dimension de $E$ est paire.
  3. Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $\vect(x,f(x))$ est stable par $f$.
  4. En déduire que si $\dim E=2n$, il existe des vecteurs $(e_1,\dots,e_n)$ tels que $(e_1,f(e_1),\dots,e_n,f(e_n))$ forme une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base?
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Semblable sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. On suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $PAP^{-1}=B$. Démontrer qu'il existe $Q\in GL_n(\mathbb R)$ tel que $QAQ^{-1}=B$.
Indication
Corrigé
Exercice 40 - Endomorphisme de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont tous les éléments diagonaux sont nuls.
Indication
Corrigé
Endomorphismes nilpotents - Matrices nilpotentes
Exercice 41 - Une matrice sans racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $A$ la matrice définie par $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ où $a_{i,i+1}=1$ pour $i=1,\dots,n-1$, les autres coefficients étant tous nuls.
  1. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
  2. Existe-t-il $B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tel que $B^2=A$.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Déterminant et matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$ et $N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ nilpotente. On suppose que $AN=NA$. Démontrer que $\det(A+N)=\det(A)$.
Indication
Corrigé
Exercice 43 - Tout hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ contient une matrice inversible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, $n\geq 2$. Le but de l'exercice est de démontrer que $H$ contient une matrice inversible. On raisonne par l'absurde et on suppose que $H$ ne contient pas de matrices inversibles.
  1. Démontrer que $H$ contient toutes les matrices nilpotentes.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 44 - Matrices nilpotentes et trace des puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $A$ est nilpotente si et seulement si, pour tout $p\geq 1$, on a $\textrm{Tr}(A^p)=0$.
Indication
Corrigé