$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Espaces préhilbertiens, endomorphismes des espaces euclidiens

Quelques révisions de Math Sup
Exercice 1 - Relations usuelles sur les orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. Démontrer les relations suivantes :
  1. $A\subset B\implies B^\perp\subset A^\perp$.
  2. $(A\cup B)^\perp=A^\perp\cap B^\perp$.
  3. $A^\perp=\textrm{vect}(A)^\perp$;
  4. $\textrm{vect}(A)\subset A^{\perp\perp}$.
  5. On suppose de plus que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $\textrm{vect}(A)= A^{\perp\perp}$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Orthogonal, somme et intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien $E$. Montrer que : $$(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp.$$ $$F^\perp+G^\perp\subset (F\cap G)^\perp.$$ Que se passe-t-il en dimension finie?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Pas de supplémentaire orthogonal! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère $E=C([0,1],\mtr)$ muni du produit scalaire $(f,g)=\int_0^1 f(t)g(t)dt.$ Soit $F=\{f\in E,\ f(0)=0\}$. Montrer que $F^\perp=\{0\}$. En déduire que $F$ n'admet pas de supplémentaire orthogonal.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Trouver une base orthonormale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une base orthonormale de $\mathbb R_2[X]$ muni du produit scalaire $$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Une caractérisation des bases orthonormales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $(e_1,\dots,e_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ de norme 1 tels que, pour tout $x\in E$, on a $$\|x\|^2=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2.$$ Démontrer que $E$ est de dimension $n$ et que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
Indication
Corrigé
Projections orthogonales, calcul de distances
Exercice 6 - Projection orthogonale dans $\mathbb R^4$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$ muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique $\mathcal B=(e_1,e_2,e_3,e_4)$. On considère $G$ le sous-espace vectoriel défini par les équations $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\ x_3+x_4&=&0. \end{array} \right. $$
  1. Déterminer une base orthonormale de $G$.
  2. Déterminer la matrice dans $\mathcal B$ de la projection orthogonale $p_G$ sur $G$.
  3. Soit $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ un élément de $E$. Déterminer la distance de $x$ à $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Projection orthogonale donnée par sa matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $p\in\mathcal L(E)$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\frac 16\left( \begin{array}{ccc} 5&-2&1\\ -2&2&2\\ 1&2&5 \end{array}\right).$$ Démontrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera l'équation. Déterminer la distance de $(1,1,1)$ à ce plan.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Distance à un hyperplan affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique, déterminer la distance de $M(3,4,5)$ au plan $\mathcal P$ d'équation $2x+y-z+2=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Un produit scalaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E=\mathbb R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$, $$\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).$$
  1. Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur $E$.
  2. Déterminer une base orthonormée de $E$.
  3. Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{P\in E;\ \sum_{k=0}^n P(a_k)=0\right\}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\inf_{a,b\in\mathbb R}\int_0^1(x^2-ax-b)^2dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Projecteurs orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si pour tout $x$ de $E$, on a $\|p(x)\|\leq \|x\|$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Projecteurs orthogonaux (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p,q\in\mathcal L(E)$ deux projecteurs orthogonaux. Démontrer l'équivalence entre :
  1. $\textrm{Im}(p)\subset \textrm{Im}(q)$;
  2. Pour tout $x\in E$, $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Méthode des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels avec $p\leq n$. On munit $\mathbb R^n$ du produit scalaire canonique et on identifie $\mathbb R^n$ avec $\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$. On considère une matrice $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ de rang $p$ et $B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique matrice $X_0$ de $\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)$ telle que $$\|AX_0-B\|=\inf\{\|AX-B\|;\ X\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)\}.$$
  2. Montrer que $X_0$ est l'unique solution de $$A^T AX=A^T B.$$
  3. Application : déterminer $$\inf\{(x+y-1)^2+(x-y)^2+(2x+y+2)^2;\ (x,y)\in\mathbb R^2\}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertion. Pour $x_1,\dots,x_p$ des vecteurs de $E$, on appelle matrice de Gram la matrice de $\mathcal M_p(\mathbb R)$ définie par $(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$. On appelle déterminant de Gram des vecteurs $x_1,\dots,x_p$, et on note $G(x_1,\dots,x_p)$, le déterminant de cette matrice.
  1. Démontrer que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre si et seulement si $G(x_1,\dots,x_p)\neq 0$.
  2. On suppose désormais que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre, et on note $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_p)$. Soit également $x\in E$. Démontrer que $$d(x,F)^2=\frac{G(x,x_1,\dots,x_p)}{G(x_1,\dots,x_p)}.$$
Indication
Corrigé
Polynômes orthogonaux
Exercice 15 - Généralités sur les polynômes orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $w:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue strictement positive. Pour $E=\mathbb R[X]$, on pose $$\langle P,Q\rangle =\int_a^b P(t)Q(t)w(t)dt$$ dont on admettra qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $E$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique suite de polynômes $(P_n)_{n\geq 0}$ formée de polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque $P_n$ de degré $n$ et de coefficient dominant 1.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $P_{n+1}-XP_n$ est orthogonal à $\mathbb R_{n-2}[X]$.
  3. En déduire pour tout $n\geq 1$, l'existence de $a_n$ et $b_n$ tels que $$P_{n+1}=(X+a_n)P_n+b_n P_{n-1}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Polynômes de Laguerre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$, $$h_n(x)=x^ne^{-x}\textrm{ et }L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x).$$
  1. Calculer explicitement $L_0,L_1,L_2$.
  2. Montrer que, pour tout entier $n$, $L_n$ est une fonction polynômiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
  3. Pour tous $P,Q\in\mathbb R[X]$, on pose $$\varphi(P,Q)=\int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}dx.$$ Démontrer que $\varphi$ est bien définie.
  4. Démontrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb R[X]$.
  5. Calculer, pour tout $n\in\mathbb N$, $\varphi(L_0,X^n)$.
    1. Montrer que, pour tout $k\in\{0,\dots,n\}$, il existe $Q_k\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$h_n^{(k)}(x)=x^{n-k}e^{-x}Q_k(x).$$
    2. Établir que : $$\forall n\in\mathbb N,\ \forall P\in\mathbb R[X],\ \forall p\in\{0,\dots,n\},\ \varphi(L_n,P)=\frac{(-1)^p}{n!}\int_0^{+\infty}h_n^{(n-p)}(x)P^{(p)}(x)dx.$$
  6. En déduire que $(L_n)_{n\in\mathbb N}$ est une famille orthonormée de $(\mathbb R[X],\varphi)$.
Corrigé
Exercice 17 - Polynômes de Tchebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On désigne par $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ dans $\mathbb R$. On désigne par $E_n$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de $[-1,1]$ dans $\mathbb R$ de degré inférieur ou égal à $n$, où $n$ est un entier naturel.
  1. Existence et unicité
    1. Démontrer qu'il existe un polynôme $T$ à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ vérifiant la propriété $(\heartsuit)$ : $$(\heartsuit):\ \forall \theta\in\mathbb R,\ T(\cos\theta)=\cos(n\theta)$$ (on pourra remarquer que $\cos(n\theta)$ est la partie réelle de $(\cos\theta+i\sin\theta)^n)$.
    2. Démontrer qu'un polynôme vérifiant $(\heartsuit)$ est unique. On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice $n$, on le note $T_n$.
  2. On définit alors sur $[-1,1]$ une fonction polynômiale par $$\forall x\in[-1,1],\ T_n(x)=\cos(n\arccos x).$$
    1. Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, on a $$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x).$$
    2. Calculer $T_0,T_1,T_2,T_3$.
    3. Quel est le degré de $T_n$? Quel est le terme du coefficient de plus haut degré de $T_n$?
  3. Racines et extrema
    1. Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, $T_n(x)=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}(x-\cos\theta_k)$ où $\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{2n}$.
    2. On pose, pour $k\in\{0,\dots,n\}$, $c_k=\cos(k\pi/n)$. Calculer $\|T_n\|_\infty=\sup_{x\in[-1,1]}|T_n(x)|$, puis prouver que $|T_n(c_k)|=\|T_n\|_\infty$ pour tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$.
  4. Orthogonalité
    1. Montrer que, pour toutes fonctions $f,g$ dans $E$, l'application $t\mapsto \frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}$ est intégrable sur $]-1,1[$.
    2. Pour $f,g$ éléments de $E$, on pose $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 \frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$. Justifier que ceci définit un produit scalaire sur $E$.
    3. Calculer $\langle T_n,T_m\rangle$ pour tout $n,m\in\mathbb N$.
  5. Régularité et dérivée en 1.
    1. Justifier que $T_n$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1,1]$.
    2. Pour $x\in]-1,1[$, donner une expression simple de $T_n'(x)$.
    3. Montrer que $\arccos(x)\sim \sqrt{2(1-x)}$ quand $x\to 1$ (on pourra utiliser un développement limité à l'ordre 2 en zéro de la fonction $\cos$). En déduire la valeur de $T_n'(1)$.
Corrigé
Familles totales
Exercice 18 - Famille des polynômes est totale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $\mathcal C([0,1])$ du produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt.$$ Démontrer que la famille $(X^n)_{n\geq 0}$ est totale dans cet espace préhilbertien.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien et $(e_n)$ une famille orthonormée totale de $E$. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $$\sum_{n\geq 1} \langle x,e_n\rangle^2=\|x\|^2.$$
Indication
Corrigé
Endomorphismes symétriques
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$ vérifiant, pour tout $x\in E$, $\langle u(x),x\rangle=0$. Que dire de $u$?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Matrice symétrique à puissance nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ symétrique. On suppose qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que $A^p=0$. Que vaut $A$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice symétrique. Est-ce que la matrice $A+iI_n$ est inversible?
Indication
Corrigé
Enoncé
Justifier que la matrice $$A=\left( \begin{array}{rcl} 1&-2&-2\\ -2&1&-2\\ -2&-2&1 \end{array}\right)$$ est diagonalisable, et trouver $P\in O_3(\mathbb R)$ tel que $P^TAP$ soit diagonale.
Indication
Corrigé
Enoncé
Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice suivante : $$A=\left( \begin{array}{rcl} 6&-2&2\\ -2&5&0\\ 2&0&7 \end{array}\right).$$
Corrigé
Enoncé
Soit $$M=\left( \begin{array}{ccc} \frac 12&\frac 14&\frac 14\\ \frac 14&\frac 13&\frac 5{12}\\ \frac 14&\frac 5{12}&\frac 13 \end{array}\right).$$
  1. Prouver que la suite de matrices $(M^n)$ converge.
  2. Soit $N=\lim_n M^n$. Caractériser géométriquement l'endomorphisme associé à $N$.
  3. Soit $(X_n)$ la suite de vecteurs de $\mathbb R^3$ définie par $X_0=\left(\begin{array}{rcl} u_0\\v_0\\w_0\end{array}\right)$ et $X_{n+1}=MX_n$. Prouver que la suite $(X_n)$ converge et déterminer sa limite en fonction de $u_0$, $v_0$ et $w_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Premiers pas avec les endomorphismes symétriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclien, et soient $u,v$ deux endomorphismes symétriques de $E$.
  1. Démontrer que $\ker(u)\oplus^\perp \textrm{Im}(u)=E$.
  2. Démontrer que $u\circ v$ est symétrique si et seulement si $u\circ v=v\circ u$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. On note $\lambda_1\leq \lambda_2\leq\dots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$, comptées avec leur multiplicité. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $$\lambda_1 \|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda_n \|x\|^2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Norme d'un endomorphisme symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Pour $f\in\mcl(E)$, on note $\rho(f)=\max\{|\lambda|;\ \lambda\textrm{ valeur propre de }f\}$. On pose également $\|f\|=\sup\{\|f(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que si $f$ est symétrique, alors $\|f\|=\rho(f)$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Symétrique et orthogonal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les endomorphismes symétriques et orthogonaux d'un espace vectoriel euclidien.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Identité plus un endomorphisme de rang 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 2$, $a$ un vecteur unitaire de $E$ et $\lambda$ un réel.
  1. Démontrer que $$f(x)=x+\lambda \langle x,a\rangle a$$ définit un endomorphisme symétrique de $E$.
  2. Déterminer les valeurs propres de $f$ et les sous-espaces propres correspondants.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Symétrique entraîne linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u:E\to E$ tel que, pour tous $x,y\in E$, on a $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle$. Démontrer que $u$ est linéaire.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Somme des carrés des coefficients [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$ et soient $(e_i)$, $(f_j)$ deux bases orthonormales de $E$.
  1. Démontrer que $$\sum_{i=1}^n \|u(e_i)\|^2=\sum_{i=1}^n \|u(f_i)\|^2.$$
  2. Soit $A=(a_{i,j})_{i,j}\in\mathcal S_n(\mathbb R)$ une matrice symétrique réelle, et soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ses valeurs propres. Démontrer que $$\sum_{i,j=1}^n a_{i,j}^2=\sum_{i=1}^n \lambda_i^2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Application à une matrice non symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Démontrer que la matrice $A^T A$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des réels positifs.
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Endomorphismes symétriques qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $u,v$ deux endomorphismes symétrique d'un espace euclidien qui commutent, $u\circ v=v\circ u$.
  1. Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. On pose $F=\ker(u-\lambda Id_E)$. Démontrer que $F$ et $F^\perp$ sont stables par $v$.
  2. Démontrer qu'il existe une base orthonormale de $E$ diagonalisant simultanément $u$ et $v$.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Endomorphismes symétriques de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. On suppose que $\textrm{Tr}(u)=0$.
  1. Démontrer qu'il existe $x\in E$, $x$ non-nul, tel que $\langle u(x),x\rangle=0$.
  2. En déduire qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a tous ses coefficients diagonaux nuls.
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Théorème de Courant-Fischer [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une matrice symétrique réelle d'ordre $n$ et $\lambda_1\leq\lambda_2\leq \dots\leq \lambda_n$ ses valeurs propres rangées par ordre décroissant. Soit également $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de vecteurs propres associés, ie $f(e_k)=\lambda_k e_k$. On désigne par $V_k$ le sous-espace $\textrm{vect}(e_1,\dots,e_k)$, par $W_k$ le sous-espace vectoriel $\textrm{vect}(e_k,\dots,e_n)$ et par $\mathcal F_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^n$ de dimension $k\in\{1,\dots,n\}$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R^n$ non-nul, $$R_A(x)=\frac{\langle Ax,x\rangle}{\|x\|^2}.$$
  1. Montrer que $\lambda_1=\min_{x\neq 0}R_A(x)$ et que $\lambda_n=\max_{x\neq 0}R_A(x)$.
  2. Montrer que $\max_{x\in V_k\backslash\{0\}} R_A(x)=\lambda_k$.
  3. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de dimension $k$. Vérifier que $V\cap W_k\neq\{0\}$. En déduire que $\max_{x\in V\backslash\{0\}} R_A(x)\geq \lambda_k$.
  4. Déduire des questions précédentes le théorème de Courant-Fischer : $$\lambda_k=\min_{V\in\mathcal F_k}\max_{x\in V\backslash\{0\}}R_A(x).$$
Indication
Corrigé
Isométries vectorielles
Exercice 37 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_3[X]$ muni du produit scalaire $\langle P,Q\rangle =\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt$. On considère l'endorphisme de $E$ défini par $\phi(P)(X)=P(-X)$. Démontrer que $\phi$ est une symétrie orthogonale.
Indication
Corrigé
Exercice 38 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $a\in E\backslash\{0\}$. On pose $$s_a(x)=x-2\frac{(a,x)}{(a,a)}a,$$ Montrer $s_a$ est un endomorphisme orthogonal. Calculer $\ker(s_a-id)$, $\ker(s_a+id)$. Décrire alors géométriquement $s_a$.
Indication
Corrigé
Exercice 39 - Sur les coefficients d'une matrice orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal O_n(\mathbb R)$. On note $(C_1,\dots,C_n)$ les vecteurs colonnes de $M$, $v=\sum_{j=1}^n C_j$, et $u=\sum_{j=1}^n e_j$, où $(e_1,\dots,e_n)$ est la base canonique de $\mtr^n$ muni de son produit scalaire canonique.
  1. Montrer que $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}=(u|v).$
  2. En déduire que $\left|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}\right|\leq n$. Cette inégalité est-elle optimale?
  3. Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\leq n^{3/2}.$
  4. Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\geq n.$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $\mathcal B$ une base d'un espace euclidien $E$ et soit $\mathcal C$ l'orthonormalisée de Schmidt de $\mathcal B$. Que dire de la matrice de passage de $\mathcal C$ à $\mathcal B$?
  2. Montrer que, pour toute matrice $A\in GL_n(\mathbb R)$, il existe une matrice orthogonale $Q$ et une matrice triangulaire supérieure $R$ dont tous les coefficients diagonaux sont strictement positifs telles que $A=QR$.
  3. Démontrer que le couple $(Q,R)$ est unique.
Indication
Corrigé
Exercice 41 - Si on enlève la linéarité.... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $f:E\to E$ une application telle que $$\forall x,y\in E,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle.$$
  1. Démontrer que l'image d'une base orthonormale de $E$ par $f$ est une base orthonormale.
  2. En déduire que $f$ est linéaire.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Somme et projection orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $u\in O(E)$. On pose $v=u-Id$.
  1. Démontrer que $\ker(v)=(\textrm{Im}v)^\perp$. En déduire que $\ker(v)^\perp=\textrm{Im}(v)$.
  2. Soit $$u_n=\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}u^k.$$ Démontrer que pour tout $x\in E$, $(u_n(x))$ converge vers le projeté orthogonal de $x$ sur $\ker v$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Caractériser géométriquement l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ canoniquement associé à $$A=\frac 19 \left( \begin{array}{ccc} -8&4&1\\ 4&7&4\\ 1&4&-8 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Caractériser l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\frac 13\left( \begin{array}{ccc} 2&-1&2\\ 2&2&-1\\ -1&2&2 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 45 - Déterminer la matrice d'une rotation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'espace $\mathbb R^3$ est muni de sa structure canonique usuelle d'espace euclidien orienté. La base canonique est noté $(\vec i,\vec j,\vec k)$. Le vecteur $(1,1,1)=\vec i+\vec j+\vec k$ est noté $\vec v$. Dans cet exercice, on souhaite calculer la matrice $M$ dans la base canonique de la rotation $r$ d'axe $\mathbb R\vec v$ et d'angle $2\pi/3$.
  1. Méthode 1 : en étudiant la restriction de $r$ au plan affine $P$ d'équation $x+y+z=1$, déterminer la matrice $M$.
  2. Méthode 2 : En utilisant la matrice de $r$ dans une base orthonormée directe donc le premier vecteur est le vecteur $\frac 1{\sqrt 3}\vec v$, déterminer $M$.
Indication
Corrigé
Exercice 46 - CNS pour avoir une matrice de rotation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $a,b,c,d,e$ tels que la matrice $$A=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 3}&c\\ a&\frac{1}{\sqrt 3}&d\\ \frac{1}{\sqrt 2}&b&e \end{array}\right)$$ représente une rotation de $\mathbb R^3$.
Indication
Corrigé
Exercice 47 - Endomorphisme orthogonal négatif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3, et soit $f\in O^-(E)$. Démontrer que $f$ est la composée d'une rotation d'axe une droite $D$ et de la réflexion par rapport à $D^\perp$.
Indication
Corrigé
Exercice 48 - Endomorphisme orthogonal diagonalisable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $u\in\mathcal O(E)$ diagonalisable. Démontrer que $u$ est une symétrie.
Indication
Corrigé
Exercice 49 - Produit de réflexions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $u$ une rotation du plan euclidien orienté. Démontrer que $u$ est le produit de deux réflexions.
  2. Soit $u$ un endomorphisme orthogonal d'un espace vectoriel euclidien orienté. Démontrer que $u$ est le produit de réflexions.
On rappelle qu'une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
Indication
Corrigé