$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les polynômes d'endomorphismes

Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, et $u\in\mathcal L(E)$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
  1. Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces supplémentaires de $E$ stables par $u$, alors $u$ est diagonalisable si et seulement si les deux endomorphismes induits $u_F$ et $u_G$ sont diagonalisables.
  2. Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal.
  3. Si le polynôme caractéristique d'une matrice est égal à son polynôme minimal, alors la matrice est diagonalisable.
Corrigé
Polynôme annulateur
Enoncé
Soit $M$ une matrice triangulaire par blocs $\left(\begin{array}{cc} A&C\\ 0&B \end{array}\right)$ avec $A\in\mathcal M_p(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_q(\mathbb K)$. On suppose que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ et que $Q$ est un polynôme annulateur de $B$. Déterminer un polynôme annulateur de $M$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit $P$ un polynôme annulateur de $u$. On suppose que $P=QR$, où $Q$ et $R$ sont premiers entre eux. Démontrer que $\textrm{Im}(R(u))=\ker(Q(u))$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Puissance d'une matrice et polynôme d'endomorphisme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $J\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ la matrice ne comportant que des $1$. Déterminer un polynôme annulateur pour $J$. En déduire la valeur de $J^k$ pour $k\geq 2$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Existence d'un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $u\in\mathcal L(E)$. Existe-t-il toujours un polynôme annulateur de $u$ (autre que le polynôme nul)?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Polynôme annulateur, image et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$. On suppose que $f$ possède un polynôme annulateur $P$ vérifiant $P(0)=0$ et $P'(0)\neq 0$. Montrer qu'on a alors $\textrm{Im}(f)\oplus\ker(f)=E$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Polynômes annulateurs de $A$ et propriétés de $A$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  1. Démontrer que si $\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$, alors $\bar\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$.
  2. On suppose que $A^3-3A-4I_n=0.$ Montrer que $A$ est de déterminant strictement positif.
  3. On suppose que $A^2+A+I_n=0$. Montrer que $n$ est pair.
  4. On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Montrer que le rang de $A$ est pair.
  5. On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Démontrer que $\textrm{Tr}(A)\in\mathbb Z^-$.
Indication
Corrigé
Polynôme caractéristique
Exercice 8 - Polynôme caractéristique évalué en une autre matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $M,N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $MN$ est inversible si et seulement si $M$ et $N$ sont inversibles.
  2. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $$\chi_A(B)\in GL_n(\mathbb C)\iff \textrm{Sp}(A)\cap \textrm{Sp}(B)=\varnothing.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Une propriété sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 0$. Démontrer qu'il existe $(a_0,a_1,\dots,a_{n-1})\in\mathbb R^n$ tels que, pour tout $P\in\mathbb R_{n-1}[X]$, $$P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_k P(X+k)=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Les puissances sont triangulaires supérieures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice inversible. Démontrer que $A$ est triangulaire supérieure si et seulement si, pour tout $k\geq 2$, $A^k$ est triangulaire supérieure. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que $A$ est inversible?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Endomorphisme sur un espace vectoriel réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mtr-$espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer qu'il existe toujours une droite ou un plan de $E$ stable par $f$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Spectre et racine $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $n,p\geq 1$ et $A\in M_n(\mathbb C)$ tel que $A^p=1$. Soit $\omega$ une racine $p$-ième de l'unité telle que $\omega^{-1}$ n'est pas une valeur propre de $A$. Montrer que $\sum_{k=0}^{p-1} w^kA^k=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Polynôme caractéristique de $AB$ et de $BA$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. On souhaite prouver que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
  1. Démontrer le résultat si $A$ ou $B$ est inversible.
  2. Dans le cas général, on considère les matrices de $\mathcal M_{2n}(\mathbb K)$ $$M=\left(\begin{array}{cc} BA&-B\\ 0&0 \end{array}\right),\ N=\left(\begin{array}{cc} 0&-B\\ 0&AB \end{array}\right),\ P=\left(\begin{array}{cc} I_n&0\\ A&I_n \end{array}\right).$$ Vérifier que $PN=MP$ et conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Polynôme caractéristique de la comatrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mnr$. Calculer le polynôme caractéristique de la comatrice de $A$.
Indication
Corrigé
Polynôme minimal
Exercice 15 - Calcul du polynôme minimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{array}\right),\ C=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-2\\ 2&1&-2\\ 2&2&-3 \end{array}\right)\textrm{ et } D=\left(\begin{array}{ccc} 3&0&8\\ 3&-1&6\\ -2&0&-5 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Polynôme minimal par reconstruction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $F,G$ deux sous-espaces de $E$ supplémentaires stables par $u$. On note $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$, $\pi_F$ le polynôme minimal de $u_{|F}$ et $\pi_G$ le polynôme minimal de $u_{|G}$. Démontrer que $$\pi_u=\textrm{ppcm}(\pi_F,\pi_G).$$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Racines du polynôme minimal et valeurs propres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme de $E$, $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines du polynôme minimal de $u$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - $X^2+1$ est-il un polynôme minimal? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Existe-t-il dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice dont le polynôme minimal est $X^2+1$?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Inversibilité d'un polynôme en $u$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, et soit $\pi_u$ son polynôme minimal. Soit $P\in\mathbb K[X]$. Démontrer que $P(u)$ est inversible si et seulement si $P$ et $\pi_u$ sont premiers entre eux.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $M\in M_n(\mathbb C)$ et $p\geq 1$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $M^p$ est diagonalisable et $\ker(M)=\ker(M^p)$. Le résultat subsiste-t-il si on travaille dans $\mathbb R$?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Valeurs propres distinctes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E)$ diagonalisable. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. Les valeurs propres de $f$ sont simples.
  2. Il existe $x\in E$ tel que $\{x,f(x),\dots,f^{n-1}(x)\}$ soit une base de $E$.
  3. La famille $\{Id,f,\dots,f^{n-1}\}$ est libre.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Triangulaire supérieure par blocs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que la matrice $B=\left(\begin{array}{c|c} A&A\\ \hline 0&A \end{array}\right)$ soit diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Facteurs irréductibles du polynôme minimal et du polynôme caractéristique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme de $\mtc^n$, on note $\pi_f$ (resp. $\chi_f$) son polynôme minimal (resp. son polynôme caractéristique). Montrer que $∏i_f$ et $\chi_f$ ont les mêmes facteurs irréductibles.
Indication
Corrigé