$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les fonctions intégrables

Convergence
Exercice 1 - Convergence d'intégrales impropres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^1 \ln tdt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \int_0^{+\infty}x\sin xe^{-x}dx&&\displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}\ln te^{-t}dt\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \int_0^1 \frac{dt}{(1-t)\sqrt t} \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Convergence d'intégrales impropres - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{dt}{e^t-1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}\frac{te^{-\sqrt t}}{1+t^2}dt\\ \displaystyle \mathbf 3. \int_0^1 \cos^2\left(\frac1t\right)dt \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Convergence d'intégrales impropres - 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{t^2+1}dt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_1^{+\infty}\frac{\sqrt{\ln x}}{(x-1)\sqrt x}dx\\ \displaystyle \mathbf 3. \int_1^{+\infty} e^{-\sqrt{\ln t}}dt \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Intégrales de Bertrand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $\alpha,\beta\in\mathbb R$, on souhaite déterminer la nature de $$\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(\ln x)^\beta}.$$
  1. On suppose $\alpha>1$. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente.
  2. On suppose $\alpha=1$. Calculer, pour $X>e$, $\int_e^X\frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. En déduire les valeurs de $\beta$ pour lesquelles l'intégrale converge.
  3. On suppose $\alpha<1$. En comparant à $1/t$, démontrer que l'intégrale étudiée diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Convergence d'intégrales impropres à paramètres - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, la convergence des intégrales suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{t\ln t}{(1+t^2)^\alpha}dt&& \displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}x^\alpha\ln\left(x+e^{\alpha x}\right)dx\ \end{array}$$
Corrigé
Exercice 6 - Convergence d'intégrales impropres avec développements limités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^1 \frac{dt}{1-\sqrt t}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}\left(1+t\ln\left(\frac{t}{t+1}\right)\right)dt\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \int_2^{+\infty}\left(\sqrt{x^4+x^2+1}-x\sqrt[3]{x^3+ax}\right)dx,\ a\in\mathbb R.&&\displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}e^{-t}\left(\frac1{1-e^{-t}}-\frac 1t\right)dt. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue. On suppose que $\int_0^{+\infty}f(t)dt$ converge, et soit $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites tendant vers $+\infty$. Démontrer que $\int_{x_n}^{y_n}f(t)dt$ tend vers 0.
  2. En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-t\sin t}dt$ diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Convergence et convergence absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que les intégrales impropres $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ et $\int_1^{+\infty}\frac{\cos t}tdt$ sont convergentes.
    On souhaite prouver que la fonction $\frac{\sin t}{t}$ n'est pas intégrable, c'est-à-dire que $\int_1^{+\infty}\left|\frac{\sin t}t\right|dt$ diverge.
  2. Méthode 1. Prouver que, pour tout $t\in\mathbb R$, $|\sin t|\geq \frac{1-\cos 2t}{2}$. En déduire le résultat.
  3. Méthode 2. Prouver que, pour tout $k\in\mathbb N$, $$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\frac{|\sin t|}{t}dt\geq\frac{1}{(k+1)\pi}\int_0^{\pi}|\sin t|dt.$$ Retrouver alors le résultat.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Transformée de Laplace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue et $s_0\in\mathbb R$ tels que $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge.
  1. Soit $F$ une primitive de $t\mapsto f(t)e^{-s_0t}$ sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $F$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
  2. En déduire que, pour tout $s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge.
  3. Sur le même modèle, démontrer que si $g:[1,+\infty[\to\mathbb R$ est une fonction continue telle que $\int_1^{+\infty}g(t)dt$ converge, alors $\int_1^{+\infty}\frac{g(t)}tdt$ converge.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Méthode par éclatement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la convergence des intégrales suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1. \int_4^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt x+\sin x }dx&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_1^{+\infty}\ln\left(1+\frac{\sin x}{x^\alpha}\right)dx,\ \alpha>0 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Avec le critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction continue décroissante, de limite nulle en $+\infty$. On pose $u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(t)\sin(t)dt$.
  1. Montrer que la série de terme général $u_n$ est convergente.
  2. En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ est convergente. Quel est son signe?
  3. On suppose $f(x)\geq 1/x$ pour $x\geq x_0$. Prouver que $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ n'est pas absolument convergente.
Indication
Corrigé
Calcul
Exercice 12 - Logarithme à la puissance n [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Après en avoir justifié l'existence, calculer par récurrence la valeur de $I_n=\int_0^1 (\ln x)^ndx.$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Changements de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$ converge, puis, avec le changement de variables $u=1/t$, que $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{1+t^2}dt=0$.
  2. Soit $a>0$. Calculer $\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{a^2+t^2}dt$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Changement de variable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue bornée sur $[0,+\infty[$.
  1. Démontrer que les intégrales $\int_0^{+\infty}\frac{f(x)}{1+x^2}dx$ et $\int_0^{+\infty}\frac{f(1/x)}{1+x^2}dx$ sont convergentes.
  2. Démontrer qu'elles sont égales.
  3. Application : pour $n\geq 0$, calculer $\int_0^{+\infty}\frac{dx}{(1+x^2)(1+x^n)}$ et $\int_0^{+\infty}\frac{x^n}{(1+x^2)(1+x^n)}dx.$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Une intégrale comme somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de prouver la relation suivante : $$\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}.$$
  1. Prouver la convergence de l'intégrale.
  2. Montrer que, pour tout entier $k\geq 0$, l'intégrale $I_k=\int_0^1 t^k\ln tdt$ converge, puis calculer $I_k$.
  3. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $\sum_{k=0}^n\frac{1}{(2k+1)^2}=\int_0^1 \frac{\ln t}{t^2-1}dt-\int_0^1 \frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt.$
  4. Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac{t^2\ln t}{t^2-1}$ se prolonge par continuité en 0 et en 1. En déduire qu'il existe une constante $M>0$, qu'on ne cherchera pas à calculer, telle que, pour tout $t\in]0,1[$, $\left|\frac{t^2\ln t}{t^2-1}\right|\leq M$.
  5. En déduire que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^1\frac{t^{2n+2}\ln t}{t^2-1}dt=0$, puis la relation demandée.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Différence d'arctangente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer la convergence de $\int_0^{+\infty}\big(\arctan(x+1)-\arctan(x)\big)dx$.
  2. Démontrer que $\lim_{X\to +\infty}\int_X^{X+1}\arctan(x)dx=\frac\pi 2$.
  3. Calculer $\int_0^1 \arctan(x)dx$.
  4. Calculer $\int_0^{+\infty}\big(\arctan(x+1)-\arctan(x)\big)dx$
Indication
Corrigé
Enoncé
Justifier la convergence et calculer la valeur des intégrales suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{1}\frac{\ln t}{\sqrt{1-t}}dt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}te^{-\sqrt t}dt\\ \displaystyle\mathbf 3.\int_0^{+\infty}\sin(t)e^{-at}dt,\ a>0. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Le but de cet exercice est de calculer la valeur de $I=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}tdt$. Pour chaque entier $n$, on note $$I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{\sin t}dt\textrm{ et }J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin \big((2n+1)t\big)}{t}dt.$$
  1. Justifier que, pour tout $n\geq 0$, $I_n$ et $J_n$ sont bien définis.
  2. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $I_n-I_{n-1}=0$. En déduire la valeur de $I_n$.
  3. Soit $\phi:[0,\pi/2]\to\mathbb R$ de classe $C^1$. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $\int_0^{\pi/2}\phi(t)\sin\big((2n+1)t\big)dt$ tend vers 0.
  4. Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac 1t-\frac 1{\sin t}$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi/2]$.
  5. En déduire que $J_n-I_n\to 0$.
  6. Démontrer, en utilisant un changement de variables, que $J_n\to I$.
  7. En déduire la valeur de $I$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 19 - Critère de Cauchy (sens facile) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur $[0,+\infty[$. On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $\int_x^{x+1}f(t)dt\xrightarrow{x\to+\infty}0$.
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ telle que $f$ et $f'$ soient intégrables sur $[0,+\infty[$. Démontrer que $f$ tend vers $0$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Comportement en l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux et intégrable.
  1. Démontrer que, pour tout $A>0$ et tout $\veps>0$, il existe $x\geq A$ tel que $|xf(x)|\leq \veps$.
  2. En déduire l'existence d'une suite $(x_n)$ tendant vers $+\infty$ telle que $\big(x_nf(x_n)\big)$ tend vers 0.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Fonction décroissante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue décroissante telle que $\int_0^{+\infty} f(t)dt$ converge.
  1. Démontrer que $f\geq 0$.
  2. Démontrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
  3. Justifier que $\int_{x/2}^x f(t)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  4. En déduire que $xf(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Fonction intégrable et limites en l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ un réel et $f$ une application continue de $[a,+\infty[$ dans $\mathbb R$, intégrable sur $[a,+\infty[$.
  1. Montrer que si $f$ admet une limite en $+\infty$, cette limite est nécessairement nulle.
  2. Montrer que si $f$ est uniformément continue, alors elle tend vers 0 en $+\infty$.
  3. Le résultat subsiste-t-il si on suppose simplement $f$ continue?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b[\to\mathbb R_+$ continue et croissante. On note $S_n=\frac{b-a}nf\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)$.
  1. On suppose que $\int_a^b f(t)dt$ converge. Montrer que la suite $(S_n)$ converge vers $\int_a^b f(t)dt$.
  2. On suppose que $\int_a^b f(t)dt$ diverge. Montrer que la suite $(S_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction continue de carré intégrable de $[0,+\infty[$ dans $\mathbb R$.
  1. Prouver que, pour tous $0\leq a\leq b$, on a $$\left|\int_a^b f(t)dt\right|\leq \sqrt{b-a}\left(\int_a^b f^2(t)dt\right)^{1/2}.$$
  2. En déduire que $$\lim_{x\to+\infty}\frac1{\sqrt x}\int_0^x f(t)dt=0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to]0,+\infty[$ de classe $C^1$ telle qu'il existe $a<0$ satisfaisant $\lim_{x\to+\infty}\frac{f'(x)}{f(x)}= a$. Montrer que $f$ et $f'$ sont intégrables sur $[0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Estimation de restes - Intégration des relations de comparaison
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue.
  1. On suppose que $f(0)=0$. Démontrer que $$\lim_{x\to 0^+}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}tdt=0.$$
  2. Déterminer $\lim_{x\to 0^+}\int_{ax}^{bx}\frac{f(t)}tdt$ si on ne suppose plus que $f(0)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la limite, lorsque $x\to 0^+$, de $\int_x^{2x}\frac{\sin t}{t^2}dt$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Donner un équivalent de $\int_1^{x}\frac{\arctan t}{t}dt$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Équivalent de la queue de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
  2. Démontrer que, pour tout $x>0$, on a $$\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{e^{-x^2}}{2x}-\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t^2}}{2t^2}dt.$$
  3. En déduire un équivalent simple de $\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Équivalent du reste de l'intégrale de $e^{-t}/t$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer un équivalent simple en $+\infty$ de $\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}tdt$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Développement asymptotique d'une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un développement asymptotique à trois termes au voisinage de $+\infty$ de $\int_1^x \frac{e^t}tdt$.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Développement asymptotique du logarithme intégral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère le \emph{logarithme intégral} qui est l'application définie par $$\forall x\geq 2,\ li(x)=\int_2^x \frac{dt}{\ln t}.$$ Pour tout $n\geq 1$, donner un développement asymptotique de $li(x)$ à $n$ termes lorsque $x\to+\infty$.
Indication
Corrigé
Application à l'étude de fonctions définies par des intégrales
Exercice 34 - Une intégrale dépendant d'un paramètre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$. On définit, lorsque l'intégrale est convergente, la fonction $$\phi(x)=\int_1^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}.$$
  1. Déterminer le domaine de définition de $\phi$.
  2. Démontrer que $\phi$ est décroissante sur son domaine de définition.
  3. Déterminer la limite de $\phi$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Lemme de Riemann-Lebesgue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ intégrable.
  1. Démontrer que, pour tout $A>0$, $\int_0^A f(t)\cos(xt)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  2. En déduire que $\int_0^{+\infty} f(t)\cos(xt)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
L'objectif de ce problème est l'étude de la fonction dilogarithme définie par : $$Li(x)=\int_1^x \frac{\ln(t)}{1-t}dt.$$
  1. Questions préliminaires : on pose, pour $t>0$ et $t\neq 1$ et pour $x> 0$, $$f(t)=\frac{\ln(t)}{1-t},\ g(x)=\frac{x}{e^x-1}.$$
    1. Démontrer que $f$ se prolonge par continuité en 1 et que $g$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, $0\leq g(x)\leq 1$.
  2. Démontrer que le domaine de définition de la fonction dilogarithme est $[0,+\infty[$.
  3. Justifier soigneusement que la fonction dilogarithme est dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ et donner l'expression de sa dérivée.
  4. Pourquoi $Li$ est-elle continue en $0$?
  5. Dans cette question, on se propose de calculer $Li(0)$.
    1. Démontrer que $Li(0)=\int_0^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}dx$.
    2. Justifier que, pour tout $k\geq 1$, l'intégrale $\int_0^{+\infty}xe^{-kx}dx$ est convergente, et calculer sa valeur.
    3. Soit $(S_n)$ la suite définie pour tout $n\geq 1$ par $$S_n=\sum_{k=1}^n \int_0^{+\infty}xe^{-kx}dx.$$ Démontrer que $$Li(0)-S_n=\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-nx}}{e^x-1}dx.$$
    4. En déduire que $$0\leq Li(0)-S_n\leq\frac 1n.$$
    5. En admettant que $$\sum_{k\geq 1}\frac 1{k^2}=\frac{\pi^2}6,$$ démontrer que $$Li(0)=\frac{\pi^2}6.$$
  6. Quelle est la nature de $\int_1^{+\infty}\frac{\ln t}{1-t}dt$? En déduire la limite de $Li(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
  7. Donner la représentation graphique de la fonction $Li$.
  8. On pose, pour tout $x\in ]0,1[$, $$u(x)=Li(x)+Li(1-x),$$ $$v(x)=-\ln(1-x)\ln(x).$$ Démontrer qu'il existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in ]0,1[$, $$u(x)=v(x)+C.$$
  9. Déterminer $C$.
Indication
Corrigé