$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Groupes

Structure de groupe
Exercice 1 - Exemples de groupes - avec des fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les ensembles suivants munis des lois considérées sont-ils des groupes?
  1. $G$ est l'ensemble des fonctions de $\mathbb R\to\mathbb R$ définies par $x\mapsto ax+b$, avec $a\in\mathbb R^*$ et $b\in\mathbb R$, muni de la composition;
  2. $G$ est l'ensemble des fonctions croissantes de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$, muni de l'addition;
  3. $G=\{f_1,f_2,f_3,f_4\}$, où $$f_1(x)=x,\ f_2(x)=-x,\ f_3(x)=\frac 1x,\ f_4(x)=-\frac 1x,$$ muni de la composition.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que les lois suivantes munissent l'ensemble $G$ indiqué d'une structure de groupe, et préciser s'il est abélien :
  1. $x\star y=\frac{x+y}{1+xy}$ sur $G=]-1,1[$;
  2. $(x,y)\star (x',y')=(x+x',ye^{x'}+y'e^{-x})$ sur $G=\mathbb R^2$;
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Un élément est son propre inverse [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe fini d'élément neutre $e$. On suppose que le cardinal de $G$ est pair. Démontrer qu'il existe $x\in G$ avec $x\neq e$ tel que $x=x^{-1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Tout élément est régulier [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un ensemble fini muni d'une loi de composition interne $\star$ associative. On dit qu'un élément $a$ de $G$ est régulier si les deux conditions suivantes sont réalisées :
  • l'égalité $a\star x=a\star y$ entraine $x=y$;
  • l'égalité $x\star a=y\star a$ entraine $x=y$.
On suppose que tous les éléments de $G$ sont réguliers, et on fixe $a\in G$.
  1. Démontrer qu'il existe $e\in G$ tel que $a\star e=a$.
  2. Démontrer que, pour tout $x\in G$, on a $e\star x=x$.
  3. Démontrer que, pour tout $x\in G$, on a $x\star e=x$.
  4. Démontrer que $(G,\star)$ est un groupe.
  5. Le résultat subsiste-t-il si $G$ n'est pas fini?
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Minimisation des axiomes d'un groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\cdot$ associative, qui possède un élément neutre à droite $e$ (ie pour tout $x$ de $G$, $x.e=x$) et tel que tout élément $x$ possède un inverse à droite $x'$ (ie $xx'=e$). Montrer que $G$ est un groupe.
Indication
Corrigé
Sous-groupe
Exercice 6 - Quelques sous-groupes usuels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Démontrer que les parties suivantes sont des sous-groupes de $G$ :
  1. $C(G)=\{x\in G;\ \forall y\in G, xy=yx\}$ ($C(G)$ s'appelle le centre de $G$);
  2. $aHa^{-1}=\{aha^{-1};\ h\in H\}$ où $a\in G$ et $H$ est un sous-groupe de $G$.
  3. On suppose de plus que $G$ est abélien. On dit que $x$ est un élément de torsion de $G$ s'il existe $n\in\mathbb N$ tel que $x^n=e$. Démontrer que l'ensemble des éléments de torsion de $G$ est un sous-groupe de $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Inversibles à coefficients dans $\mathbb Z$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $GL_n(\mathbb Z)$ l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, à coefficients dans $\mathbb Z$, qui sont inversibles et dont l'inverse est à coefficients dans $\mathbb Z$.
  1. Démontrer que si $M$ est à coefficients dans $\mathbb Z$, alors $M\in GL_n(\mathbb Z)$ si et seulement si $\det(M)=\pm 1$.
  2. En déduire que $GL_n(\mathbb Z)$ est un sous-groupe de $GL_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Sous-groupe d'une courbe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que $H=\{x+y\sqrt 3;\ x\in\mathbb N,\ y\in\mathbb Z,\ x^2-3y^2=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb R_+^*,\times)$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Produit de groupe et sous-groupe du produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un sous-groupe d'un groupe produit est-il nécessairement produit de deux sous-groupes?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Union de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$. Démontrer que $H\cup K$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $H\subset K$ ou $K\subset H$.
Corrigé
Exercice 11 - Produit de deux sous-groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini et $A$, $B$ deux sous-groupes de $G$. On note $AB=\{ab;\ a\in A,\ b\in B\}$. Montrer que $AB$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si $AB=BA$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Sous-groupe engendré par le complémentaire d'un sous-groupe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un sous-groupe strict d'un groupe $(G,\cdot)$. Déterminer le sous-groupe engendré par le complémentaire de $H$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Théorème de Lagrange [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini et $H$ un sous-groupe de $G$.
  1. Montrer que pour tout $a\in G$, $H$ et $aH=\{ah;\ h\in H\}$ ont le même nombre d'éléments.
  2. Soient $a,b\in G$. Démontrer que $aH=bH$ ou $aH\cap bH=\varnothing$.
  3. En déduire que le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$.
Indication
Corrigé
Morphismes de groupe
Exercice 14 - Des propriétés bien connues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Traduire en termes de morphismes de groupes les propriétés bien connues suivantes (dont le domaine de validité a volontairement été omis) :
  1. $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$;
  2. $|zz'|=|z||z'|$;
  3. $\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}$;
  4. $e^{x+y}=e^xe^y$;
  5. $\det(MM')=\det(M)\det(M')$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Exponentielle complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Justifier que $\exp$ est un morphisme de $(\mathbb C,+)$ dans $(\mathbb C^*,\cdot)$. Quel est son image? Son noyau?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Morphismes de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les morphismes de $(\mathbb Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs? surjectifs?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Groupes non isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les groupes multiplicatifs $(\mathbb R^*,\cdot)$ et $(\mathbb C^*,\cdot)$ ne sont pas isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Automorphisme intérieur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Pour $a\in G$, on note $\tau_a:G\to G$ défini par $\tau_a(x)=axa^{-1}$.
  1. Démontrer que $\tau_a$ est un endomorphisme de $G$.
  2. Vérifier que, pour tous $a,b\in G$, $\tau_a\circ \tau_b=\tau_{ab}$.
  3. Montrer que $\tau_a$ est bijective et déterminer son inverse.
  4. En déduire que $\Theta=\{\tau_a;\ a\in G\}$ muni du produit de composition est un groupe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ un morphisme d'un groupe fini $(G,\cdot)$ dans $(\mathbb C^*,\cdot)$. Calculer $\sum_{x\in G}f(x)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un groupe $(G,\cdot)$ est dit divisible si, pour tout $g\in G$ et tout $n\in\mathbb N^*$, il existe $u\in G$ tel que $u^n=g$.
  1. Le groupe $(\mathbb Q,+)$ est-il divisible?
  2. Montrer que $(\mathbb Q,+)$ et $(\mathbb Q_+^*,\cdot)$ ne sont pas isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Morphismes de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/m\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer tous les morphismes de $\mathbb Z/3\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/4\mathbb Z$.
  2. Déterminer tous les morphismes de $\mathbb Z/6\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/8\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Isométries laissant invariant un triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ le groupe des isométries du plan affine euclidien qui laissent invariant un triangle équilatéral $\Delta$. Démontrer que $G$ est isomorphe à $S_3$.
Indication
Corrigé
Ordre d'un élément, groupes cycliques
Enoncé
Quel est l'ordre de $\bar 9$ dans $\mathbb Z/12\mathbb Z$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $x\in G$ d'ordre $n$. Quel est l'ordre de $x^2$?
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Tous les éléments sont d'ordre deux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe dont tous les élements (sauf l'élément neutre) sont d'ordre au plus deux. Démontrer que $G$ est abélien.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Ordre du produit de deux éléments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe abélien, $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordres respectifs $p$ et $q$.
  1. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Démontrer que $xy$ est d'ordre $pq$.
  2. Importance des hypothèses - 1 : Si $H=GL_2(\mathbb R)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}0&1\\-1&-1\end{array}\right)$, vérifier que $A$ et $B$ sont d'ordre fini, mais que $AB$ n'est pas d'ordre fini.
  3. Importance des hypothèses - 2 : Si $p$ et $q$ ne sont pas supposés premiers entre eux, démontrer que le produit $xy$ n'est pas nécessairement d'ordre $pq$, ou d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$.
  4. Une application :
    1. Soit $d$ un diviseur de $p$. Démontrer qu'il existe un élément d'ordre $d$ dans $G$.
    2. En déduire que $G$ admet des éléments d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$.
    3. On suppose de plus que $G$ est fini. Démontrer que $G$ admet un élément dont l'ordre est le ppcm de l'ordre des éléments de $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Groupe de cardinal pair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe de cardinal $2n$.
  1. Démontrer que la relation $\mathcal R$ définie sur $G$ par $$x\mathcal R y\iff x=y\textrm{ ou }x=y^{-1}$$ est une relation d'équivalence sur $G$.
  2. En déduire que $G$ admet des éléments d'ordre deux.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Produit de groupes cycliques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $G$ et $H$ deux groupes.
  1. Montrer que si $g$ est un élément d'ordre $p$ de $G$ et $h$ un élément d'ordre $q$ de $H$, alors $(g,h)$ est d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$ dans $G\times H$.
  2. On suppose que $G$ et $H$ sont cycliques. Démontrer que $G\times H$ est cyclique si et seulement si les ordres de $G$ et $H$ sont premiers entre eux.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Sous-groupe d'un groupe cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe cyclique et soit $H$ un sous-groupe de $G$. Démontrer que $H$ est cyclique.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$ d'ordre des entiers premiers. Démontrer que $H=K$ ou que $H\cap K=\{e\}$.
  2. Démontrer que dans un groupe d'ordre 35, il existe un élément d'ordre 5 et un élément d'ordre 7.
Indication
Corrigé