$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les espaces de probabilité

Enoncé
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
  1. Deux événements incompatibles sont indépendants.
  2. Deux événements indépendants sont incompatibles.
  3. Si $P(A)+P(B)=1$, alors $A=\bar B$.
  4. Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
  5. Soit $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_p)_{p\in\mathbb N}$ deux systèmes complets d'événements. Alors $(A_n\cap B_p)_{(n,p)\in\mathbb N^2}$ est un système complet d'événement.
Corrigé
Espaces de probabilité
Exercice 2 - Tribu image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ et $F$ deux ensembles, $\mathcal T$ une tribu sur $F$ et $\phi:E\to F$ une application. Montrer que $\mathcal T'=\{\phi^{-1}(A);\ A\in\mathcal T\}$ est une tribu sur $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble infini et $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $E$. Pour toute partie $J$ de $\mathbb N$, on pose $B_J=\bigcup_{j\in J}A_j$.
  1. Démontrer que $\mathcal T=\{B_J;\ J\in\mathcal P(\mathbb N)\}$ est une tribu sur $E$ et que c'est la plus petite tribu contenant tous les $A_n$.
  2. Trouver une partition $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $A_n$ n'est pas fini.
  3. Trouver une tribu incluse dans $\mathcal P(\mathbb N)$, de cardinal infini, dont tous les éléments, sauf l'ensemble vide, sont de cardinal infini.
Indication
Corrigé
Enoncé
On lance une pièce une infinité de fois. Pour $n\geq 1$, on note $A_i$ l'événement ``le i-ème lancer amène pile''.
  1. Décrire par une phrase les événements suivants : $$B=\bigcap_{i=5}^{+\infty}A_i,\ C=\bigcup_{i=5}^{+\infty}A_i.$$
  2. Écrire à l'aide de $A_i$ l'événement $D$=``On n'obtient plus que des piles à partir d'un certain lancer''.
Corrigé
Exercice 5 - Limites supérieures et inférieures d'ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ensemble. On appelle \emph{limite supérieure} des $A_n$, et on note $\limsup_n A_n$ l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à une infinité de $A_n$. On appelle \emph{limite inférieure} des $A_n$, et on note $\liminf_n A_n$, l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à tous les $A_n$, sauf un nombre fini d'entre eux.
  1. Déterminer les ensembles $\limsup_n A_n$ et $\liminf_n A_n$ dans les cas suivants :
    1. $A_n=]-\infty,n]$;
    2. $A_n=]-\infty,-n]$;
    3. $A_{2n}=A$, $A_{2n+1}=B$;
    4. $A_n=]-\infty,(-1)^n]$.
  2. Écrire les définitions de $\liminf_n A_n$ et $\limsup_n A_n$ avec les quantificateurs $\forall$ et $\exists$. Les traduire en termes ensemblistes à l'aide de $\bigcap$ et $\bigcup$.
Corrigé
Exercice 6 - Premier lemme de Borel-Cantelli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé. Soit $(A_n)_{n\geq 0}$ une suite d'événements. On note $A=\limsup_n A_n=\bigcap_{n\geq 0}\bigcup_{k\geq n}A_k$. On suppose que $\sum_n \mathbb P(A_n)<+\infty$. Pour $n\geq 1$, on note $D_n=\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_k$.
  1. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\mathbb P(D_n)=0$;
  2. En déduire que $\mathbb P(A)=0$. Interpréter ce résultat.
Indication
Corrigé
Enoncé
On lance un dé équilibré jusqu'à l'obtention d'un 6. Quelle est la probabilité que tous les nombres obtenus soient pairs?
Indication
Corrigé
Enoncé
Émile est un excellent footballeur. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à $2/3$. Paulin est un peu moins fort. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à $1/2$. Émile lance un défi à Paulin. Chacun va tirer un pénalty à son tour, en commençant par Paulin. Le premier qui marque a gagné. Quelle est la probabilité que Émile gagne?
Indication
Corrigé
Enoncé
Des joueurs $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité $\frac 12$ de gagner. La première manche oppose $A_1$ et $A_2$ et, à l'étape $n$, si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur $A_{n+1}$. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.
  1. Quelle est la probabilité que l'étape $n$ ait lieu?
  2. En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
  3. Quelle est la probabilité que le joueur $A_n$ gagne?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Tirer un nombre au hasard [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir $n$ vaut $1/2^n$. Pour $k\in\mathbb N^*$, on note $A_k$ l'événement "$n$ est un multiple de $k$".
  1. Vérifier que ceci définit une probabilité sur $\mathbb N^*$.
  2. Calculer la probabilité de $A_k$ pour $k\in\mathbb N^*$.
  3. Calculer la probabilité de $A_2\cup A_3$.
  4. Montrer que pour $p,q\geq 2$, alors $A_p$ et $A_q$ ne sont pas indépendants.
Indication
Corrigé
Probabilités conditionnelles et indépendance
Exercice 11 - Probabilité d'une réunion et indépendance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A_1, \dots,A_n$ $n$ événements d’un espace probabilisé $(\Omega,P)$. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i = P(A_i)$. Donner une expression simple de $P(A_1\cup\dots\cup A_n)$ en fonction de $p_1,\dots,p_n$.
Application : on suppose qu'une personne est soumise à $n$ expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle ait une probabilité $p$ d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
  1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la $n$-ième lecture ?
  2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la $n$-ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
Corrigé
Enoncé
Soit $n>1$ un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier $x$ dans $\{1,\dots,n\}$. Pour tout entier $m\leq n$, on note $A_m$ l'événement "$m$ divise $x$". On note également $B$ l'événement "$x$ est premier avec $n$". Enfin, on note $p_1,\dots,p_r$ les diviseurs premiers de $n$.
  1. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_k}$.
  2. Pour tout entier naturel $m$ qui divise $n$, calculer la probabilité de $A_m$.
  3. Montrer que les événements $A_{p_1},\dots,A_{p_r}$ sont mutuellement indépendants.
  4. En déduire la probabilité de $B$.
  5. Application : on note $\phi(n)$ le nombre d'entiers compris entre $1$ et $n$ qui sont premiers avec $n$. Démontrer que $$\phi(n)=n\prod_{k=1}^r \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Probabilité conditionnelle égale à probabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilité et $A$ un événement de probabilité non nulle. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\mathbb P_A=\mathbb P$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une information est transmise à l'intérieur d'une population. Avec une probabilité $p$, c'est l'information correcte qui est transmise à chaque étape d'une personne à une autre. Avec une probabilité $1-p$, c'est l'information contraire qui est transmise. On note $p_n$ la probabilité que l'information après $n$ transmissions soit correcte.
  1. Donner une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$.
  2. En déduire la valeur de $p_n$ en fonction de $p$ et de $n$.
  3. En déduire la valeur de $\lim_n p_n$. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une particule se trouve à l'instant 0 au point d'abscisse $a$ ($a$ entier), sur un segment gradué de $0$ à $N$ (on suppose donc $0\leq a\leq N$). A chaque instant, elle fait un bond de $+1$ avec la probabilité $p$ ($0<p<1/2$), ou un bond de $-1$ avec la probabilité $q=1-p$. Autrement dit, si $x_n$ est l'abscisse de la particule à l'instant $n$, on a : $$x_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} x_n+1&\textrm{avec probabilité $p$}\\ x_n-1&\textrm{avec probabilité $1-p$.} \end{array}\right.$$ Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s'il existe $x_n$ avec $x_n=0$ ou $x_n=N$).
  1. Écrire un algorithme qui simule cette marche aléatoire. En particulier, cet algorithme prendra en entrée l'abscisse $a$ de départ, la longueur $N$ du segment, et produira en sortie un message indiquant si la marche s'arrête en 0 ou en $N$, et le nombre de pas nécessaires pour que le processus s'arrête. On supposera qu'on dispose d'une fonction alea() qui retourne un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$.
  2. On note $u_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $0$.
    1. Que vaut $u_0$? $u_N$?
    2. Montrer que si $0<a<N$, alors $u_a={pu_{a+1}}+qu_{a-1}$.
    3. En déduire l'expression exacte de $u_a$.
  3. On note $v_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $N$. Reprendre les questions précédentes avec $v_a$ au lieu de $u_a$.
  4. Calculer $u_a+v_a$. Qu'en déduisez-vous?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Marche aléatoire sur un triangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Question préliminaire : Soit $M$ la matrice $$M=\left( \begin{array}{ccc} \frac 13&0&\frac 1{12}\\ \frac 13&1&\frac 7{12}\\ \frac 13&0&\frac 13 \end{array} \right).$$ Démontrer que $M$ est diagonalisable, et trouver $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $M=PDP^{-1}$.
  2. On considère une particule se déplaçant à chaque seconde sur l'un des trois sommets $A$, $B$ et $C$ d'un triangle suivant le procédé suivant :
    • si la particule se trouve en $B$, elle y reste;
    • si la particule se trouve en $A$, elle se rend la seconde suivante sur l'un des trois sommets de façon équiprobable;
    • si la particule se trouve en $C$, à la seconde suivante, elle y reste une fois sur trois, sinon elle va en $B$ sept fois plus souvent qu'en $A$.
    A la première seconde, la particule se pose de façon équiprobable sur un des trois sommets. Pour tout $n\geq 1$, on note $A_n$ (resp. $B_n$, $C_n$) l'événement "à la $n$-ième seconde, la particule se trouve en $A$" (resp. $B$ et $C$), et on note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de $A_n$, $B_n$ et $C_n$.
    Que valent $a_1$, $b_1$ et $c_1$?
  3. Donner une relation de récurrence entre $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$ et $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
  4. On note, pour $n\geq 1$, $X_n$ le vecteur $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Vérifier que $X_{n+1}=MX_n$.
  5. En déduire la valeur de $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
  6. Étudier la convergence des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes $R_1$, $R_2$ et $R_3$ : les bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent $20\%$ de la population totale pour la classe $R_1$, $50\%$ pour la classe $R_2$, et $30\%$ pour la classe $R_3$. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
  1. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année?
  2. Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une forêt se compose de trois types d'arbres : 30% sont des chênes, 50% des peupliers, et 20% des hêtres. Suite à une tempête, une maladie se déclare et touche 10% des chênes, 4% des peupliers, et 25% des hêtres. Sachant qu'un arbre est malade, quelle est la probabilité que ce soit un chêne? un peuplier? un hêtre?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur $10000$. Un responsable d'un grand laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à $99\%$. Si une personne n'est pas malade, le test est positif à $0,1\%$. Autorisez-vous la commercialisation de ce test?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient pile. Quelle est la probabilité pour qu'il soit un tricheur?
Indication
Corrigé