$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les équations différentielles

Equations du premier ordre
Exercice 1 - Varions la constante... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+y=\frac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb R$;
  2. $(1+x)y'+y=1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$;
  3. $y'-\frac yx=x^2$ sur $]0,+\infty[$;
  4. $y'-2xy=-(2x-1)e^x$ sur $\mathbb R$;
  5. $y'-\frac{2}ty=t^2$ sur $]0,+\infty[$;
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Raccordement détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $$f(x)=\begin{cases} C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\ D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0. \end{cases} $$
    1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
  2. On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
  3. Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Raccordement des solutions- tous les cas possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les solutions sur $\mathbb R$ des équations différentielles suivantes :
  1. $ty'-2y=t^3$;
  2. $t^2y'-y=0$;
  3. $(1-t)y'-y=t$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Dissolution d'un composé chimique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. On place 20g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10g. Dans combien de temps restera-t-il seulement 1g?
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver les courbes d'équation $y=f(x)$, avec $f$ de classe $C^1$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ vérifiant la propriété géométrique suivante : si $M$ est le point courant de la courbe, $T$ l'intersection de la tangente à la courbe en $M$ avec l'axe $(Ox)$, et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(Ox)$, alors $O$ est le milieu de $[PT]$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Le vecteur sous-tangent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f'$ ne s'annule pas. Soit $M$ un point de la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. On note $T$ le point d'intersection de la tangente à $C_f$ avec l'axe $(O,\vec i)$ et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $(O,\vec i)$. On appelle vecteur sous-tangent à $C_f$ en $M$ le vecteur $\overrightarrow{TP}$.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de $C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et vérifiant, pour tous $s,t\in\mathbb R$, $$f(s+t)=f(s)f(t).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Où est l'équation différentielle? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^1(\mathbb R)$ telle que $$\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)+f'(x)\big)=0.$$ Montrer que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Calcul d'une transformée de Fourier par résolution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de $$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt.$$ On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Comportement à l'infini d'une solution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Prouver que toute solution de l'équation différentielle $y'+e^{x^2}y=0$ admet une limite nulle en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Solutions périodiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux applications continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ périodiques de période 1. A quelle(s) condition(s) l'équation différentielle $y'=a(x)y+b(x)$ admet-elle des solutions 1-périodiques. Les déterminer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues avec $a$ impaire et $b$ paire. Montrer que l'équation différentielle $$(E)\ y'(t)+a(t)y(t)=b(t)$$ admet une unique solution impaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et intégrable. Démontrer que toutes les solutions de l'équation différentielle $y'(t)-a(t)y(t)=0$ sont bornées.
Indication
Corrigé
Equations du second ordre
Exercice 14 - Équations du second ordre à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-4y'+3y=(2x+1)e^{-x}$;
  2. $y''-4y'+3y=(2x+1)e^x$;
  3. $y''-2y'+y=(x^2+1)e^x+e^{3x}$;
  4. $y''-4y'+3y=x^2e^x+xe^{2x}\cos x$;
  5. $y''-2y'+5y=-4xe^{-x}\cos(x)+7e^{-x}\sin x-4e^x\sin(2x)$;
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Avec une condition initiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les équations différentielles suivantes, déterminer l'unique fonction solution :
  1. $y''+2y'+4y=xe^x$, avec $y(0)=1$ et $y(1)=0$.
  2. $y''-2y'+(1+m^2)y=(1+4m^2)\cos (mx)$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=0$; on discutera suivant que $m=0$ ou $m\neq 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Solutions polynômiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Rechercher les fonctions polynômes solutions de $$(x^2-3)y''-4xy'+6y=0.$$ En déduire toutes les solutions de cette équation sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Abaissement de l'ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'équation différentielle notée $(E)$ : $$(t^2+t)x''+(t-1)x'-x=0.$$
  1. Déterminer les solutions polynômiales de $(E)$.
  2. En déduire toutes les solutions de $(E)$ sur $]1,+\infty[$.
  3. Reprendre le même exercice avec $$x^2y''-3xy'+4y=x^3$$ dont on déterminera les solutions sur $]0,+\infty[$. On cherchera d'abord les solutions polynômiales de l'équation homogène!
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'équation différentielle $$xy''-y'+4x^3 y=0\quad\quad (E)$$ dont on se propose de déterminer les solutions sur $\mathbb R$.
  1. Question préliminaire : soient $a,b,c,d$ 4 réels et $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a\cos(x^2)+b\sin(x^2)&\textrm{ si }x>0\\ c\cos(x^2)+d\sin(x^2)&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. $$ A quelle condition sur $a,b,c,d$ la fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$?
    On recherche les solutions de $(E)$ qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On note $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ une telle solution, lorsqu'elle existe, et on désigne par $R$ son rayon de convergence.
  2. Montrer qu'il existe une relation de récurrence, que l'on explicitera, entre $a_{n+4}$ et $a_n$.
  3. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p+1}$ et $a_{4p+3}$.
  4. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p}$ en fonction de $a_0$ et de $p$ (respectivement $a_{4p+2}$ en fonction de $a_2$ et $p$).
  5. Quel est le rayon de la série entière obtenue? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions "classiques".
  6. Soit $S$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$. Préciser une base de $S$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Solutions DSE puis abaissement de l'ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les équations différentielles suivantes :
  • Chercher les solutions développables en séries entières
  • Résoudre complètement l'équation sur un intervalle bien choisi par la méthode d'abaissement de l'ordre
  • Résoudre l'équation sur $\mathbb R$.
$$\mathbf{1.} \ xy''+2y'-xy=0\quad\quad \mathbf{2.} \ x(x-1)y''+3xy'+y=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 20 - DSE, changement de variables, raccordement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(E)$ l'équation différentielle $$2xy''-y'+2xy=0.$$
  1. Trouver les solutions développables en série entière en 0. On les exprimera à l'aide de fonctions classiques.
  2. A l'aide d'un changement de variables, résoudre l'équation différentielle sur $\mathbb R_+^*$ et $\mathbb R_-^*$.
  3. En déduire toutes les solutions sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Avec de l'algèbre linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ le $\mathbb C$-espace vectoriel des applications de classe $C^\infty$ de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$. On définit $\phi:E\to E$ par \begin{eqnarray*} \phi(f):\mathbb R&\to&\mathbb R\\ t&\mapsto& f'(t)+tf(t). \end{eqnarray*}
  1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$.
  2. Faire de même pour $\phi^2$.
  3. En déduire les solutions de l'équation différentielle $$y''+2xy'+(x^2+3)y=0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer une équation différentielle linéaire homogène du second ordre admettant pour solutions les fonctions $\phi_1$ et $\phi_2$ définies respectivement par $\phi_1(x)=e^{x^2}$ et $\phi_2(x)=e^{-x^2}$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à résoudre sur $\mathbb R_+^*$ l’équation différentielle : $$x²y"−3xy'+4y = 0.\ (E)$$
  1. Cette équation est-elle linéaire ? Qu’est-ce qui change par rapport au cours ?
  2. Analyse. Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb R_+^*$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $z(t)=y(e^t)$.
    1. Calculer pour $t\in\mathbb R$, $z'(t)$ et $z''(t)$.
    2. En déduire que $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants que l’on précisera (on pourra poser $x = e^t$ dans $(E)$).
    3. Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.
    4. En déduire le ”portrait robot” de $y$.
  3. Synthèse. Vérifier que, réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l’analyse sont bien toutes les solutions de (E) et conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'équation différentielle $y''(t)+b(t)y(t)=0$ où $b$ désigne une application continue de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. On considère $y$ une solution non identiquement nulle de cette équation et on souhaite démontrer que, pour tout segment $[\alpha,\beta]\subset\mathbb R$, le nombre de zéros de $y$ dans $[\alpha,\beta]$ est fini. Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe une solution $y$ qui possède un nombre infini de zéros dans $[\alpha, \beta]$.
  1. Démontrer qu’il existe dans $[\alpha, \beta]$ une suite $(z_n)_{n\in\mathbb N}$ de zéros de $y$ deux à deux distincts convergeant vers un réel $\gamma\in [\alpha, \beta]$.
  2. Démontrer que $y(\gamma)=0$.
  3. Démontrer que, à partir d’un certain rang, le quotient $T_n =\frac{y(z_n) − y(\gamma)}{z_n-\gamma}$ est bien défini et que $y'(\gamma)=0$.
  4. En déduire que la solution $y$ est nécessairement identiquement nulle et conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Changement de fonction inconnue - et on retrouve des coefficients constants... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les équations différentielles suivantes :
  1. $(1+e^x)y''+2e^x y'+(2e^x+1)y=xe^x$ en posant $z(x)=(1+e^x)y(x)$;
  2. $xy''+2(x+1)y'+(x+2)y=0$, en posant $z=xy$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Changement de variable - et on retrouve des coefficients constants... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-y'-e^{2x}y=e^{3x}$ en posant $t=e^x$;
  2. $y''+y'\tan(x)-y\cos^2(x)=0$ en posant $t=\sin x$;
  3. $x^2y''+y=0$ en posant $t=\ln x$;
  4. $(1-x^2)y''-xy'+y=0$ sur $]-1,1[$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Varions la constante... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre l'équation différentielle $y''+4y=\tan t$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $p:\mathbb R\to\mathbb R_+$ une fonction continue non identiquement nulle. On se propose de démontrer que toutes les solutions de l'équation différentielle $y''(x)+p(x)y(x)=0$ s'annulent. Pour cela, on raisonne par l'absurde et on suppose que $f$ est une solution ne s'annulant pas.
  1. Justifier que $f$ est de signe constant. Dans la suite, quitte à changer $f$ en $-f$, on supposera $f>0$.
  2. Soit $a\in\mathbb R$ quelconque. Justifier que la courbe représentative de $f$ est en-dessous de sa tangente en $(a,f(a))$.
  3. En déduire que $f'(a)=0$.
  4. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Solutions périodiques d'équations différentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, $I$ désigne un intervalle ouvert de $\mathbb R$ symétrique par rapport à l'origine, et $\varphi$ une fonction paire, de classe $C^\infty$ sur $I$. On note $(E)$ l'équation différentielle homogène $$y''(x)+\varphi(x) y(x)=0.$$ On note $f_0$ l'unique solution de $(E)$ sur $I$ vérifiant les conditions initiales $f_0(0)=1$ et $f_0'(0)=0$, et $f_1$ l'unique solution vérifiant les conditions initiales $f_1(0)=0$ et $f_1'(0)=1$.
    1. Démontrer que si $y$ est solution de $(E)$ sur $I$, alors $y$ est de classe $C^\infty$.
    2. Démontrer que si $y$ est solution de $(E)$ sur $I$, alors $x\mapsto y(-x)$ est aussi solution de $(E)$ sur $I$.
    3. En déduire que $f_0$ est une fonction paire et que $f_1$ est une fonction impaire.
    4. Exprimer la solution générale de $(E)$ sur $I$ à l'aide de $f_0$ et de $f_1$. En déduire, parmi les solutions de $(E)$, celles qui sont paires et celles qui sont impaires.
  1. On suppose désormais que $I=\mathbb R$ et que $\varphi$ est $2\pi$-périodique.
    1. Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb R$. Démontrer que $x\mapsto y(x+2\pi)$ est encore solution de $(E)$ sur $\mathbb R$.
    2. En déduire qu'il existe des constantes $w_{00},w_{01},w_{10}$ et $w_{11}$, que l'on déterminera en fonction des valeurs prises par $f_0$, $f_0'$, $f_1$ et $f_1'$ en $2\pi$, telles que pour tout $x\in\mathbb R$, on ait $$\left\{ \begin{array}{rcl} f_0(x+2\pi)&=&w_{00}f_0(x)+w_{10}f_1(x)\\ f_1(x+2\pi)&=&w_{01}f_0(x)+w_{11}f_1(x). \end{array}\right.$$
    3. Soit $W$ la matrice carrée d'ordre $2$ définie par $W=\left(\begin{array}{cc} w_{00}&w_{01}\\ w_{10}&w_{11} \end{array}\right)$. Montrer que, pour que $(E)$ admette sur $\mathbb R$ des solutions non identiquement nulles $2\pi$-périodiques, il faut et il suffit que $W$ admette 1 pour valeur propre. On pourra exprimer une telle solution $g$ en fonction de $f_0$ et $f_1$, puis utiliser la périodicité de $g$.
Corrigé
Exercice 30 - Sur les zéros des solutions d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. On dit qu'un réel $a$ est un \emph{zéro isolé} de $f$ si $f(a)=0$ et s'il n'existe pas de suite $(a_n)$ de zéros distincts de $f$ telle que $(a_n)$ converge vers $a$.
  1. Donner un exemple de fonction continue dont 0 est un zéro non-isolé.
  2. On suppose que $f$ est dérivable, et que $a$ est un zéro de $f$ non-isolé. Prouver que $f'(a)=0$.
  3. On suppose toujours que $f$ est dérivable et que les zéros de $f$ sont isolés. Soient $a$ et $b$ deux zéros consécutifs de $f$. Démontrer que $f'(a)$ et $f'(b)$ ont des signes opposés.
    Dans la suite de l'exercice, on fixe $p,q:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues, et on considère l'équation différentielle $(E)$ : $$y''+p(t)y'+q(t)y=0.$$
  4. Soit $f$ une solution non-nulle de $(E)$. En utilisant 2., prouver que les zéros de $f$ sont isolés.
  5. Soient $f$ et $g$ deux solutions de $(E)$ et $t_0,C\in\mathbb R$ tels que $g(t_0)=Cf(t_0)$ et $g'(t_0)=Cf'(t_0)$. Prouver que $g=Cf$.
  6. On suppose désormais que $(f,g)$ est une base de solutions de $(E)$. On appelle \emph{wronskien} de $f$ et $g$ la fonction $W$ définie sur $\mathbb R$ par $$W(t)=\left|\begin{array}{cc}f(t)&g(t)\\f'(t)&g'(t)\end{array}\right|.$$ Déduire de la question précédente que $W$ ne s'annule jamais.
  7. Former une équation différentielle du premier ordre vérifiée par $W$ et en déduire l'expression de $W(t)$ en fonction de $W(t_0)$.
  8. Soient $a,b$ deux zéros consécutifs de $f$. Que vaut $W(a)$, $W(b)$? En utilisant les questions précédentes, en déduire que $g$ s'annule sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue intégrable. On considère l'équation $y''+f(t)y=0$.
  1. Soit $y$ une solution bornée de l'équation. Montrer que $y'$ tend vers 0 en $+\infty$.
  2. Soit $y_1$, $y_2$ deux solutions. Montrer que leur déterminant wronskien $W(t)=\left|\begin{array}{cc}y_1(t)&y_2(t)\\ y_1'(t)&y_2'(t) \end{array}\right|$ est constant.
  3. En déduire que l'équation admet une solution non bornée.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Principe d'entrelacement des zéros de Sturm [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de donner des indications "qualitatives" sur le nombre et la place des zéros de solutions d'équations différentielles linéaires du second ordre. On fixe $p,q:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues.
  1. {\bf Une seule équation.} On considère l'équation différentielle $(E)$ $$y''+p(t)y'+q(t)y=0.$$
    1. Soit $f$ une solution non-nulle de $(E)$. Montrer que les zéros de $f$ sont isolés.
    2. Soient $f,g$ deux solutions indépendantes de $(E)$. On appelle wronskien de $f$ et $g$ la fonction $W(t)=f(t)g'(t)-f'(t)g(t)$.
      1. Montrer que $W(t)=W(t_0)\exp\left(-\int_{t_0}^t p(u)du\right)$.
      2. Montrer que $W(t_0)\neq 0$.
      3. En déduire que si $\alpha<\beta$ sont deux zéros consécutifs de $f$, alors il existe $\gamma\in [\alpha,\beta]$ tel que $g(\gamma)=0$.
  2. {\bf Deux équations} On suppose désormais que l'on a deux équations du second ordre $$(E_1):\ y''+p(t)y=0$$ $$(E_2):\ y''+q(t)y=0$$ avec $p\leq q$. On considère $f$ (resp. $g$) une solution non-identiquement nulle de $(E_1)$ (resp. de $E_2$). Montrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux zéros consécutifs de $f$, alors il existe $\gamma\in [\alpha,\beta]$ tel que $g(\gamma)=0$.
  3. {\bf Comparaison à un cas classique} Soit l'équation $y''+q(t)y=0$, et $f$ une solution non-identiquement nulle de cette équation. Montrer que
    • si $q(t)\leq M^2$, alors deux zéros consécutifs de $f$ sont distants d'au moins $\pi/M$;
    • si $q(t)\geq M^2$, alors dans tout intervalle $I$ de longueur $\pi/M$, $f$ admet au moins un zéro dans $I$.
  4. {\bf Équation de Bessel} On considère l'équation différentielle suivante, dite équation de Bessel : $$y''+\frac 1xy'+\left(1-\frac{\lambda^2}{x^2}\right)y=0,$$ définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
    1. Effectuer le changement de fonction inconnue $y=v/\sqrt{x}$, et ramener cette équation à une équation de la forme précédente.
    2. Discuter, suivant la valeur de $\lambda$, le nombre de zéros d'une solution non-nulle de l'équation de Bessel dans un intervalle de longueur $\pi$.
Indication
Corrigé
Systèmes différentiels
Enoncé
Résoudre les systèmes différentiels suivants : $$\mathbf 1. \left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&x+2y-z\\ y'&=&2x+4y-2z\\ z'&=&-x-2y+z \end{array}\right.\quad\quad \mathbf 2. \left\{\begin{array}{rcl} x'&=&y+z\\ y'&=&-x+2y+z\\ z'&=&x+z \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Diagonalisable...mais sur les complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner les solutions réelles du système différentiel $X'=AX$ lorsque $$\mathbf 1. A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ -1&2&1\\ 1&0&1 \end{array}\right)\quad\quad\mathbf 2. A=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 1&4&-2\\ 2&6&-3 \end{array}\right). $$
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Avec l'exponentielle de matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $$\left( \begin{array}{ccc} 2&0&1\\ 1&-1&-1\\ -1&2&2 \end{array} \right).$$
  1. Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
  2. En déduire la valeur de $\exp(tA)$.
  3. Résoudre le système différentiel $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&2x_1(t)+x_3(t)\\ x_2'(t)&=&x_1(t)-x_2(t)-x_3(t)\\ x_3'(t)&=&-x_1(t)+2x_2(t)+2x_3(t) \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Avec l'exponentielle de matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $A=\left(\begin{array}{rcl} a&b&c\\ 0&a&b\\ 0&0&a \end{array} \right)$. Calculer $\exp(A)$. En déduire la solution générale du sytème $X'=AX$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les systèmes différentiels suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&6x_1(t)+3x_2(t)-3t+4e^{3t}\\ x_2'(t)&=&-4x_1(t)-x_2(t)+4t-4e^{3t} \end{array}\right. &\quad& \mathbf 2.\ \left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&x_1(t)+2x_2(t)+t\\ x_2'(t)&=&-4x_1(t)-3x_2(t). \end{array}\right. \end{array}$$ On donnera les solutions réelles.
Indication
Corrigé
Exercice 38 - Coefficients non constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système différentiel suivant : $$\left\{\begin{array}{rcl} x_1'&=&(2-t)x_1+(t-1)x_2\\ x_2'&=&2(1-t)x_1+(2t-1)x_2. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre le système différentiel d'ordre 2 suivant : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x''(t)&=&x'(t)+y'(t)-y(t)\\ y''(t)&=&x'(t)+y'(t)-x(t) \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 40 - Fonction non-solution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la fonction définie sur $\mathbb R^*$ par $f(t)=e^{-1/t^2}$ et prolongée par $f(0)=0$ est de classe $C^\infty$, mais n'est solution d'aucune équation différentielle linéaire homogène.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n:I\to \mathbb R$ des fonctions continues. Montrer que toute solution non-nulle de l'équation $y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_0(t)y=0$ a ses zéros isolés.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Comportement à l'infini des systèmes 2x2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ une matrice complexe. Montrer que toutes les solutions du système $X'(t)=AX(t)$ tendent vers 0 en $+\infty$ si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont toutes de partie réelle strictement négative.
Indication
Corrigé
Exercice 43 - Toutes les solutions sont de norme constante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $\mathbb R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Démontrer l'équivalence de
  1. $A$ est antisymétrique;
  2. toutes les solutions de l'équation $X'=AX$ sont de norme constante.
Indication
Corrigé