$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur compacité, connexité, evn de dimension finie

Ensembles compacts
Enoncé
Déterminer si les ensembles suivants sont, ou ne sont pas, compacts : $$ \begin{array}{ll} A=\{(x,y)\in \mathbb R^2,\ x^2+y^4=1\}&B=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+y^5=2\}\\ C=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+xy+y^2\leq 1\}&D=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ x^2+8xy+y^2\leq 1\}\\ E=\{(x,y)\in\mathbb R^2,\ y^2=x(1-2x)\}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Boule unité non compacte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,2\pi])$ muni de la norme $\|\cdot\|_2$. Pour $n\in\mathbb N$, on pose $f_n(x)=e^{inx}$.
  1. Calculer $\|f_n-f_p\|_2$ pour $p,n\in\mathbb N$.
  2. En déduire que $\bar B(0,1)$ n'est pas compacte.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $K,L$ deux parties compactes d'un espace vectoriel normé $E$. On pose $K+L=\{x+y;\ x\in K,\ y\in L\}$. Démontrer que $K+L$ est une partie compacte de $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Sphère unité et boule unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $B$ la boule unité fermé de $E$ et $S$ la sphère unité. Démontrer que $B$ est compact si et seulement si $S$ est compact.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Suites et valeurs d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de $\mtr^d$. Pour $n\geq 1$, on pose $A_n=\left\{u_p;\ p\geq n\right\}.$ Démontrer que l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$ est : $$V=\bigcap_{n\geq 1}\overline{A_n}.$$ En déduire que si la suite est bornée, $V$ (l'ensemble des valeurs d'adhérence) est compact.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(E,\|.\|)$ un espace vectoriel normé. Soit $(x_n)$ une suite convergente de $E$ et soit $x$ sa limite. Montrer que l'ensemble : $$A=\{x\}\cup\{x_n,\ n\in\mtn\}$$ est compact.
Indication
Corrigé
Applications de la compacité à la topologie
Exercice 7 - Compact contenu dans la boule unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé $E$ contenu dans la boule unité ouverte. Démontrer qu'il existe $r<1$ tel que $K$ soit contenu dans $\bar B(0,r)$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Distance de deux compacts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $K,L$ deux compacts disjoints d'un espace vectoriel normé $E$. Démontrer que $d(K,L)=\inf_{x\in K,\ y\in L}\|y-x\|>0.$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Somme d'un fermé et d'un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F$ un fermé, et $C$ un compact de $\mtr^n$. On note $G=F+C=\left\{x+y;\ x\in F\textrm{ et }y\in C\right\}$. Montrer que $G$ est fermé.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Distance à une partie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr^d$ muni d'une norme $\|\cdot\|$, et $A$ une partie non vide de $E$. On définit la distance d'un élément $x_0$ de $E$ à une partie $A$ de $E$, notée $d(x_0,A)$, par la formule $$d(x_0,A)=\inf_{x\in A}\|x-x_0\|.$$
  1. Supposons $A$ compact. Montrer que pour tout $x_0\in E$ il existe $y\in A$ tel que $d(x_0,A)=\|y-x_0\|$.
  2. Montrer que le résultat est encore vrai si on suppose seulement que $A$ est fermé. (On remarquera que pour toute partie $B$ de $A$ on a $d(x_0,B)\ge d(x_0,A)$.)
  3. Montrer que l'application qui à $x_0$ associe $d(x_0,A)$ est continue sur $E$ (sans aucune hypothèse sur $A$).
  4. En déduire que si $A$ est un fermé de $E$ et $B$ un compact de $E$ tels que $A$ et $B$ sont disjoints, alors il existe une constante $\delta>0$ telle que $$\|a-b\| \ge \delta \qquad \forall (a,b)\in A\times B.$$
  5. Montrer par un contre-exemple que le résultat est faux si on suppose seulement que $A$ et $B$ sont deux fermés disjoints.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Intersection emboitée de compacts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $(K_n)$ une suite de parties compactes de $E$ telle que, pour chaque entier $n$, on $K_{n+1}\subset K_n$. On pose $K=\bigcap_{n\geq 1}K_n$.
  1. Démontrer que $K\neq\varnothing$.
  2. Soit $U$ un ouvert contenant $K$. Démontrer qu'il existe un entier $n$ tel que $K_n\subset U$.
Indication
Corrigé
Applications aux fonctions
Exercice 12 - Fonctions non bornées à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr^d\to\mtr$ une fonction continue telle que $\lim_{\|x\|\to \infty}f(x)=+\infty$. Montrer que $f$ admet un minimum.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Fonctions non bornées à l'infini (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr^n\to\mtr$ une fonction continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
  1. $\forall M>0,\ \exists R>0\textrm{ tel que }\|x\|>R\implies |f(x)|>M.$
  2. Pour toute partie bornée $B$ de $\mtr$, $f^{-1}(B)$ est une partie bornée de $\mtr^n$.
  3. Pour toute partie compacte $K$ de $\mtr$, $f^{-1}(K)$ est une partie compacte de $\mtr^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une fonction $f$ définie sur une partie $A\subset\mtr^n$ à valeurs dans $\mathbb R^n$ est dite \emph{localement lipschitzienne} si, pour tout $x\in A$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ et une constante $C>0$ telle que : $$\forall (y,z)\in A\cap V_x,\ \|f(y)-f(z)\|\leq C\|y-z\|.$$ Montrer qu'une fonction localement lipschitzienne sur une partie compacte $K$ de $\mathbb R^n$ est en fait lipschitzienne.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Point fixe et compacité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et $f:E\to E$ une fonction continue vérifiant : $$\forall (x,y) \in E^2,\ x\neq y\implies \|f(x)-f(y)\|< \|x-y\|.$$
  1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe (que l'on notera $\alpha$).
  2. Ces résultats subsistent-ils si on suppose simplement $E$ fermé?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Graphe d'une fonction continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $E$, $f:A\to B$ une application et $G=\{(x,f(x));\ x\in A\}$ son graphe.
  1. On suppose que $f$ est continue. Démontrer que son graphe est fermé.
  2. On suppose de plus que $B$ est compact et que le graphe de $f$ est fermé. Démontrer que $f$ est continue (on pourra utiliser le théorème suivant : une suite d’éléments d’une partie compacte converge si et seulement si elle admet une unique valeur d’adhérence.)
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Valeur propre d'un endomorphisme symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, et $u$ un endomorphisme symétrique de $E$, c'est-à-dire que $u$ vérifie $$\forall x,y\in E,\ \pss{u(x)}{y}=\pss{x}{u(y)}.$$ On note $\mathcal S$ la sphère unité de $E$ et $\phi:\mathcal S\to \mathbb R$ l'application définie par $\phi(x)=\pss{u(x)}{x}.$
  1. Justifier que $\phi$ atteint son maximum sur $\mathcal S$. On désignera par $x_0$ un point où ce maximum est atteint.
  2. Soit $y$ un vecteur unitaire orthogonal à $x_0$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $$x(t)=(\cos t)x_0+(\sin t)y\textrm{ et }f(t)=\pss{u(x(t))}{x(t)}.$$ Démontrer que $f$ admet un maximum en $0$.
  3. En déduire que $y$ est orthogonal à $u(x_0)$.
  4. En déduire que $x_0$ est un vecteur propre de $u$.
Indication
Corrigé
Connexité par arcs
Exercice 18 - Intérieur, produit, somme et connexité par arcs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$, $B$ deux parties connexes par arcs de $E$.
  1. Démontrer que $A\times B$ est connexe par arcs.
  2. En déduire que $A+B$ est connexe par arcs.
  3. L'intérieur de $A$ est-il toujours connexe par arcs?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Union de connexes par arcs ayant un point commun [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(A_i)_{i\in I}$ une famille de parties connexes par arcs de l'espace vectoriel normé $E$ telles que $\bigcap_{i\in I}A_i\neq\varnothing$. Démontrer que $\bigcup_{i\in I}A_i$ est connexe par arcs.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On souhaite démontrer à l'aide de la connexité par arcs le résultat classique suivant : si $f$ est continue et injective, alors $f$ est strictement monotone. Pour cela, on pose $C=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>y\}$ et $F(x,y)=f(x)-f(y)$, pour $(x,y)\in C$.
  1. Démontrer que $F(C)$ est un intervalle.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Pas d'homéomorphisme! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit que deux parties $A$ et $B$ de deux espaces vectoriels normés $E$ et $F$ sont homéomorphes s'il existe une bijection $f:A\to B$ telle que $f$ et $f^{-1}$ soient continues.
  1. Démontrer que $\mathbb R^2\backslash\{0\}$ est connexe par arcs.
  2. Démontrer que $\mathbb R$ et $\mathbb R^2$ ne sont pas homéomorphes.
  3. Démontrer que $[0,1]$ et le cercle trigonométrique ne sont pas homéomorphes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb R$ et soit $f:I\to \mathbb R$ une application dérivable. Notons $A=\{(x,y)\in I\times I;\ x<y\}.$
  1. Démontrer que $A$ est une partie connexe par arcs de $\mathbb R^2$.
  2. Pour $(x,y) \in A$, posons $g(x,y) = \frac{f(y)-f(x)}{y-x}$. Démontrer que $g(A)\subset f'(I)\subset \overline{g(A)}$.
  3. Démontrer que $f'(I)$ est un intervalle.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Parties ouvertes et fermées d'un connexe par arcs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ une partie connexe par arcs d'un espace vectoriel normé, et soit $B$ une partie de $A$ qui est à la fois ouverte et fermée relativement à $A$. On pose $f:A\to \mathbb R$ définie par $f(x)=1$ si $x\in B$ et $f(x)=0$ si $x\notin B$.
  1. Démontrer que $f$ est continue.
  2. En déduire que $B=\varnothing$ ou $B=A$.
Indication
Corrigé
Espaces de dimension finie
Exercice 24 - Polynômes, norme infinie et norme 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N$ et $E$ l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$. Démontrer qu'il existe $\lambda>0$ tel que, pour tout $P\in E$, on a $$\int_0^1 |P(t)|dt\geq \lambda\sup_{t\in [0,1]} |P(t)|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Norme et produit matriciel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $N$ une norme sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. Démontrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $$N(AB)\leq CN(A)N(B).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $K$ une partie compacte de $E$ et $r>0$. On pose $L=\bigcup_{x\in K}\bar B(x,r)$. Démontrer que $L$ est compact.
Corrigé
Exercice 27 - Sous-espaces vectoriels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. Montrer que tout sous-espace vectoriel de E est fermé.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Intégrale jamais nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $E_n$ l'ensemble des polynômes de $\mathbb R[X]$ unitaires de degré $n$. Montrer que $\inf_{P\in E_n}\int_0^1|P(t)|dt>0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie d'un espace vectoriel normé $E$.
  1. Démontrer que pour tout $a\in E$, il existe $x\in F$ tel que $d(a,F)=\|x-a\|$.
  2. On suppose $F\neq E$. Soit $a\in E\backslash F$ et soit $x\in F$ tel que $d(a,F)=\|a-x\|$ On pose $b=(a-x)/\|a-x\|$. Démontrer que $d(b,F)=1\textrm{ et }\|b\|=1.$
  3. On suppose que $E$ est de dimension infinie. Construire une suite $(b_n)$ de $E$ telle que, pour tout $n\in\mathbb N$, $$\|b_n\|=1\textrm{ et }d(b_{n},\textrm{vect}(b_0,\dots,b_{n-1}))=1.$$
  4. En déduire que la boule unité fermée de $E$ n'est pas compacte.
Indication
Corrigé
Topologie des espaces de matrices
Enoncé
Démontrer que l'ensemble des matrices symétriques est un fermé de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Ensemble des matrices inversibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'ensemble $GL_n(\mtr)$ des matrices inversibles est un ouvert dense dans $\mcm_n(\mtr)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que l'ensemble des matrices orthogonales $\mathcal O_n(\mtr)$ (celles qui vérifient $\ \!^tMM=I_n$) est un compact de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. Est-il connexe par arcs?
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Polynômes caractéristiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B$ deux matrices de $M_n(\mathbb C)$.
  1. Montrer que si $A$ est inversible, il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $BA=P^{-1}(AB)P$. En déduire que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
  2. Soit $t\in\mathbb C$. On suppose que $t$ n'est pas valeur propre de $A$. Montrer que les matrices $(A-tI_n)B$ et $B(A-tI_n)$ ont le même polynôme caractéristique.
  3. On fixe $x\in\mathbb C$. On définit $f:\mathbb C\to\mathbb C$ et $g:\mathbb C\to\mathbb C$ les applications définies par $$f(t)=\det\big((A-tI_n)B-xI_n\big)\textrm{ et }g(t)=\det\big(B(A-tI_n)-xI_n\big).$$ Montrer que les fonctions $f$ et $g$ sont continues. En déduire $f(0)=g(0)$.
  4. En déduire que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Matrices de rang majoré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n>0$ et $0\leq p\leq n$ deux entiers. Montrer que l'ensemble $F_p$ des éléments de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ de rang inférieur ou égal à $p$ est un fermé de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Adhérence des matrices diagonalisables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ un entier.
  1. Démontrer que l'ensemble des matrices diagonalisables est dense dans $\mathcal M_n(\mtc)$.
  2. Soit $A=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\right)$. Démontrer qu'il existe un voisinage de $A$ dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$ ne contenant aucune matrice diagonalisable.
Indication
Corrigé