$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur le calcul différentiel

Dérivées partielles,Dérivées suivant un vecteur
Exercice 1 - Calcul de dérivées partielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes, et les calculer.
  1. $f(x,y)=e^x\cos y.$
  2. $f(x,y)=(x^2+y^2)\cos(xy).$
  3. $f(x,y)=\sqrt{1+x^2y^2}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ une fonction de classe $C^1$.
  1. On définit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ par $g(t)=f(2+2t,t^2)$. Démontrer que $g$ est $C^1$ et calculer $g'(t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$.
  2. On définit $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $h(u,v)=f(uv,u^2+v^2)$. Démontrer que $h$ est $C^1$ et exprimer les dérivées partielles $\frac{\partial h}{\partial u}$ et $\frac{\partial h}{\partial v}$ en fonction des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une application de classe $C^1$ sur $\mtr^2$. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions suivantes :
  1. $g(x,y)=f(y,x)$.
  2. $g(x)=f(x,x)$.
  3. $g(x,y)=f(y,f(x,x))$.
  4. $g(x)=f(x,f(x,x))$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Continue et pas de dérivées partielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit $f:\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}\to\mathbb R$ par $$f(x,y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/4}}.$$ Justifier que l'on peut prolonger $f$ en une fonction continue sur $\mathbb R^2$. Étudier l'existence de dérivées partielles en $(0,0)$ pour ce prolongement.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Dérivée suivant tout vecteur, et pas continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les fonctions suivantes, démontrer qu'elles admettent une dérivée suivant tout vecteur en $(0,0)$ sans pour autant y être continue.
  1. $\displaystyle f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} y^2\ln |x|&\textrm{ si }x\neq 0\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array} \right. $
  2. $\displaystyle g(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2y}{x^4+y^2}&\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array} \right. $
Indication
Corrigé
Différentielle dans $\mathbb R^n$
Enoncé
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur différentielle
  1. $f(x,y)=e^{xy}(x+y)$.
  2. $f(x,y,z)=xy+yz+zx$.
  3. $f(x,y)=(y\sin x,\cos x)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur matrice jacobienne.
  1. $\dis f(x,y,z)=\left(\frac{1}{2}(x^2-z^2),\sin x\sin y\right).$
  2. $\dis f(x,y)=\left(xy,\frac{1}{2}x^2+y,\ln(1+x^2)\right).$
Indication
Corrigé
Enoncé
On définit sur $\mtr^2$ l'application suivante : $$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \dis\frac{xy}{x^2+y^2}&\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\\ \dis0&\textrm{ si }(x,y)=(0,0). \end{array}\right.$$
  1. $f$ est-elle continue en $(0,0)$?
  2. $f$ admet-elle des dérivées partielles en $(0,0)$?
  3. $f$ est-elle différentiable en $(0,0)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mtr^2\to\mtr$ définie par : $$\begin{array}{rcl} (x,y)&\mapsto&xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\textrm{ si $(x,y)\neq (0,0)$}\\ (0,0)&\mapsto&0. \end{array}$$
  1. $f$ est-elle continue sur $\mtr^2$?
  2. $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mtr^2$?
  3. $f$ est-elle différentiable sur $\mtr^2$?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Différentiabilité à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que, pour tous $(x,y)$ réels, alors $|xy|\leq x^2-xy+y^2$.
  2. Soit $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=(x^py^q)/(x^2-xy+y^2)$ si $(x,y)\neq (0,0)$, où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls. Pour quelles valeurs de $p$ et $q$ cette fonction est-elle continue?
  3. Montrer que si $p+q=2$, alors $f$ n'est pas différentiable.
  4. On suppose que $p+q=3$, et que $f$ est différentiable en $(0,0)$. Justifier qu'alors il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que $f(x,y)=ax+by+o(\|(x,y)\|)$. En étudiant les applications partielles $x\mapsto f(x,0)$ et $y\mapsto f(0,y)$, justifier que $a=b=0$. Conclure, à l'aide de $x\mapsto f(x,x)$, que $f$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.
Indication
Corrigé
Différentielle ailleurs...
Exercice 11 - Différentielle de la fonction carré d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ définie par $f(M)=M^2$. Justifer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et déterminer la différentielle de $f$ en tout $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Différentielle de la fonction inverse d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi:GL_n(\mathbb R)\to GL_n(\mathbb R), M\mapsto M^{-1}$.
  1. Démontrer que $\phi$ est différentiable en $I_n$ et calculer sa différentielle en ce point.
  2. Même question en $M\in GL_n(\mathbb R)$ quelconque.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Différentielle sur un espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $E=\mathbb R_n[X]$ de la norme $\|P\|=\sup_{t\in [0,1]}|P(t)|$. Soit $\phi:E\to \mathbb R$, $P\mapsto \int_0^1 (P(t))^3$. Démontrer que $\phi$ est différentiable sur $E$ et calculer sa différentielle.
Indication
Corrigé
Fonction de classe $C^1$
Enoncé
Démontrer que les applications $f:\mtr^2\to\mtr$ suivantes sont de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$.
  1. $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$;
  2. $\displaystyle f(x,y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb R^2$, sont-elles de classe $C^1$?
  1. $\displaystyle f(x,y)=x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$;
  2. $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$;
  3. $\displaystyle f(x,y)=e^{-\frac 1{x^2+y^2}}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ de classe $C^1$ solutions des systèmes suivants : $$ \mathbf 1.\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&xy^2\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&yx^2. \end{array}\right. \quad\quad \mathbf 2.\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&e^xy\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&e^x+2y. \end{array}\right. \quad\quad \mathbf 3.\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&x^2y\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&xy^2. \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Dérivées partielles d'ordre supérieur
Enoncé
Calculer les dérivées partielles à l'ordre 2 des fonctions suivantes :
  1. $f(x,y)=x^2(x+y)$.
  2. $f(x,y)=e^{xy}.$
Corrigé
Enoncé
Pour $(x,y)\neq (0,0)$, on pose $$f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.$$
  1. $f$ admet-elle un prolongement continu à $\mathbb R^2$?
  2. $f$ admet-elle un prolongement $C^1$ à $\mathbb R^2$?
  3. $f$ admet-elle un prolongement $C^2$ à $\mathbb R^2$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une application de classe $C^1$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$ et $r\in\mtr$. On dit que $f$ est homogène de degré $r$ si $$\forall (x,y)\in\mtr^2,\ \forall t>0,\ f(tx,ty)=t^rf(x,y).$$
  1. Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré $r-1$.
  2. Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$ si et seulement si : $$\forall (x,y)\in\mtr^2,\ x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=rf(x,y).$$
  3. On suppose que $f$ est de classe $C^2$. Montrer que : $$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=r(r-1)f(x,y).$$
Indication
Corrigé
Équations aux dérivées partielles
Enoncé
Etant données deux fonctions $g_0$ et $g_1$ d'une variable réelle, de classe $C^2$ sur $\mtr$, on définit la fonction $f$ sur $\mtr^*_+\times\mtr$ par $$f(x,y)=g_0\left(\frac{y}{x}\right)+xg_1\left(\frac{y}{x}\right).$$ Justifier que $f$ est de classe $C^2$, puis prouver que $$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche toutes les fonctions $g:\mtr^2\to \mtr$ vérifiant : $$\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial y}=a,$$ où $a$ est un réel.
  1. On pose $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par : $$f(u,v)=g\left(\frac{u+v}{2},\frac{v-u}{2}\right).$$ En utilisant le théorème de composition, montrer que $\dis\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{a}{2}.$
  2. Intégrer cette équation pour en déduire l'expression de $f$.
  3. En déduire les solutions de l'équation initiale.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Fonctions invariantes par translation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite déterminer les fonctions $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, de classe $C^1$, et vérifiant : $$\forall (x,y,t)\in\mathbb R^3,\ f(x+t,y+t)=f(x,y).$$
  1. Démontrer que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.$$
  2. On pose $u=x+y$, $v=x-y$ et $F(u,v)=f(x,y)$. Démontrer que $\frac{\partial F}{\partial u}=0$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Chercher toutes les fonctions $f$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ vérifiant $$\frac{\partial f}{\partial x}-3\frac{\partial f}{\partial y}=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Équation des cordes vibrantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $c\neq 0$. Chercher les solutions de classe $C^2$ de l'équation aux dérivées partielles suivantes $$c^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial t^2},$$ à l'aide d'un changement de variables de la forme $u=x+at$, $v=x+bt$.
Indication
Corrigé
Extrema
Enoncé
On pose $f(x,y)=x^2+y^2+xy+1$ et $g(x,y)=x^2+y^2+4xy-2$.
  1. Déterminer les points critiques de $f$, de $g$.
  2. En reconnaissant le début du développement d'un carré, étudier les extrema locaux de $f$.
  3. En étudiant les valeurs de $g$ sur deux droites vectorielles bien choisies, étudier les extrema locaux de $g$.
Corrigé
Enoncé
Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes :
  1. $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$
  2. $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y + 5$
  3. $f(x,y) = x^3 + y^3 $
  4. $f(x,y) = (x - y)^2 + (x + y)^3 $
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\}$.
  1. Représenter $D$ et trouver une paramétrisation de $\Gamma$, le bord de $D$.
  2. Justifier que $f$ admet un maximum et un minimum sur $D$.
  3. Déterminer les points critiques de $f$.
  4. Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
  5. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Extrema sur un compact [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour chacun des exemples suivants, démontrer que $f$ admet un maximum sur $K$, et déterminer ce maximum.
  1. $f(x,y)=xy(1-x-y)$ et $K=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x,y\geq 0,\ x+y\leq 1\};$
  2. $f(x,y)=x-y+x^3+y^3$ et $K=[0,1]\times [0,1]$;
  3. $f(x,y)=\sin x\sin y\sin(x+y)$ et $K=[0,\pi/2]^2$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques sur la différentielle
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ telle que, pour tout $(x,y)\in(\mathbb R^2)^2$, on a $$|f(x)-f(y)|\leq \|x-y\|^2.$$ Démontrer que $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Une question de dimension [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:U\to V$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^p$ à valeurs dans un ouvert $V$ de $\mathbb R^q$. On suppose que $f$ est différentiable en $a$ et que $f$ admet une fonction réciproque $g$, différentiable au point $b=f(a)$. Démontrer que $p=q$.
Indication
Corrigé
Exercice 31 - Différentielle et fonction linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ différentiable. On suppose que, pour tout $\lambda\in\mathbb R$ et tout $x\in\mathbb R^n$, $f(\lambda x)=\lambda f(x)$.
  1. Démontrer que $f(0)=0$.
  2. Démontrer que $f$ est linéaire.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Le théorème de Rolle en plusieurs variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ différentiable. On note $S$ la sphère unité de $\mathbb R^n$ et $B$ la boule unité ouverte. On suppose que $f$ est constante sur $S$. Démontrer l'existence de $x_0\in B$ tel que $df_{x_0}=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - La méthode des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étant donné un nuage de points $(x_i,y_i)_{i=1}^n$, la droite des moindres carrés (ou droite de régression linéaire) est la droite d'équation $y=mx+p$ qui minimise la quantité $$F(m,p)=\sum_{k=1}^n (y_k-mx_k-p)^2.$$
  1. Démontrer que si $(m,p)$ est un couple où ce minimum est atteint, alors $(m,p)$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \sum_{k=1}^n (y_k-mx-p)&=&0\\ \sum_{k=1}^n x_k(y_k-mx_k-p)&=&0. \end{array}\right.$$
  2. On note $\bar x$ et $\bar y$ les valeurs moyennes respectives de $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ et $(y_i)_{i=1,\dots,n}$. Démontrer que si $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$, alors il existe au plus une droite des moindres carrés, avec $$m=\frac{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2}.$$
  3. On veut désormais prouver l'existence d'une droite des moindres carrés, toujours sous la condition $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$.
    1. Pourquoi suffit-il de prouver que $\lim_{\|(m,p)\|\to+\infty}F(m,p)=+\infty$?
    2. Démontrer que $$F(m,p)=\sum_{i=1}^n u_i^2(m,p)+v(m,p)+c,$$ où $u_1,\dots,u_n,v$ sont des formes linéaires sur $\mathbb R^2$ et $c\in\mathbb R$.
    3. Démontrer que le rang de $(u_1,\dots,u_n)$ est 2.
    4. On suppose que $(u_1,u_2)$ sont indépendantes. Justifier que l'on peut écrire $$F(m,p)=u_1^2(m,p)+au_1(m,p)+u_2^2(m,p)+bu_2(m,p)+c+R(m,p),$$ où $a,b,c\in\mathbb R$ et $R(m,p)\geq 0$.
    5. Justifier que $\|(m,p)\|\to+\infty\implies |u_1(m,p)|+|u_2(m,p)|\to+\infty$.
    6. Conclure.
  4. Application numérique : Une réaction lente conduit à une concentration $y$ de produit, donnée en fonction du temps par la relation théorique $$y=0,01-\frac{1}{\alpha t+\beta}.$$ L'expérience conduit au tableau de valeurs suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t\quad (sec)&0&180&360&480&600&900&1200\\ \hline y\quad (10^{-3} mole/l)&0&2,6&4,11&4,81&5,36&6,37&6,99\\ \hline \end{array}.$$ Déterminer par la méthode des moindres carrés des valeurs possibles pour $\alpha$ et $\beta$.
Corrigé