$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les anneaux

Structure d'anneaux
Enoncé
Un élément $x$ d'un anneau $A$ est dit nilpotent s'il existe un entier $n\geq 1$ tel que $x^n=0$. On suppose que $A$ est commutatif, et on fixe $x,y$ deux éléments nilpotents.
  1. Montrer que $xy$ est nilpotent.
  2. Montrer que $x+y$ est nilpotent.
  3. Montrer que $1_A-x$ est inversible.
  4. Soient $u,v\in A$ tels que $uv$ est nilpotent. Montrer que $vu$ est nilpotent.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'un anneau $A$ est un anneau de Boole si, pour tout $x\in A$, $x^2=x$. On fixe $A$ un tel anneau.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in A$, $x=-x$.
  2. Montrer que $A$ est commutatif.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Endomorphisme de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,+)$ un groupe commutatif. On note $\textrm{End}(G)$ l'ensemble des endomorphismes de $G$ sur lequel on définit la loi $+$ par $f+g:G\to G,\ x\mapsto f(x)+g(x)$. Démontrer que $(\textrm{End}(G),+,\circ)$ est un anneau.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Rationnels à dénominateur impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle A=\left\{\frac mn;\ m\in\mathbb Z,\ n\in 2\mathbb N+1\right\}$ (c'est-à-dire que $A$ est l'ensemble des rationnels à dénominateur impair). Démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère $\mathbb Z[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Z\}$.
  1. Montrer que $(\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times)$ est un anneau.
  2. On note $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Montrer que, pour tous $x,y$ de $\mathbb Z[\sqrt 2]$, on a $N(xy)=N(x)N(y)$.
  3. En déduire que les éléments inversibles de $\mathbb Z[\sqrt 2]$ sont ceux s'écrivant $a+b\sqrt 2$ avec $a^2-2b^2=\pm 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Caractéristique d'un anneau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un anneau. On appelle caractéristique de $A$ l'ordre de $1_A$ dans le groupe additif $(A,+)$. Dans la suite, on supposera que $A$ est de caractéristique finie $n$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in A$, $nx=0$.
  2. Démontrer que si $A$ est intègre, $n$ est un nombre premier.
  3. Démontrer que si $A$ est intègre et commutatif, alors $x\mapsto x^n$ est un morphisme d'anneaux.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Sous-anneaux de $\mathbb Z^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $d\in\mathbb N$, on note $A_d=\{(x,y)\in\mathbb Z^2;\ y-x\in d\mathbb Z\}$.
  1. Démontrer que, pour tout $d\in\mathbb N$, $A_d$ est un sous-anneau de $\mathbb Z^2$.
  2. Réciproquement, soit $A$ un sous-anneau de $\mathbb Z^2$. Démontrer que $H=\{x\in\mathbb Z;\ (x,0)\in A\}$ est un sous-groupe de $\mathbb Z$.
  3. En déduire qu'il existe $d\in\mathbb N$ tel que $A=A_d$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que $A$ est un corps.
Indication
Corrigé
Idéaux
Enoncé
Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif et $M$ une partie de $A$. On appelle annulateur de $M$ l'ensemble des $x\in A$ tels que $xy=0$ pour tout $y\in M$. Démontrer que l'annulateur de $M$ est un idéal de $(A,+,\times)$.
Corrigé
Enoncé
On appelle nilradical d'un anneau commutatif $(A,+,\times)$ l'ensemble de ses éléments nilpotents, c'est-à-dire l'ensemble des $x\in A$ pour lesquels il existe $n\geq 1$ de sorte que $x^n=0$. Démontrer que le nilradical de $A$ est un idéal de $A$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Peu d'idéaux : c'est un corps! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif.
  1. On suppose que $A$ n'admet que les idéaux triviaux $\{0\}$ et $A$. Démontrer que $A$ est un corps.
  2. On suppose que $A$ est intègre et qu'il n'admet qu'un nombre fini d'idéaux. Démontrer que $A$ est un corps.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Suites croissantes d'id'éaux de $\mathbb K[X]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(I_n)$ une suite croissante d'idéaux de $\mathbb K[X]$. Démontrer que la suite $(I_n)$ est stationnaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif. Si $I$ et $J$ sont deux idéaux de $A$, on note \begin{eqnarray*} I+J&=&\left\{i+j;\ i\in I,\ j\in J\right\}\\ I.J&=&\left\{i_1j_1+\dots+i_nj_n;\ n\geq 1,\ i_k\in I,\ j_k\in J\right\} \end{eqnarray*} On dit que deux idéaux $I$ et $J$ sont étrangers si $I+J=A$.
  1. Montrer que $I+J$ et $IJ$ sont encore des idéaux de $A$.
  2. Montrer que $I.J\subset I\cap J$.
  3. Montrer que $(I+J).(I\cap J)\subset I.J$.
  4. Montrer que si $I$ et $J$ sont étrangers, alors $I.J=I\cap J$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Idéaux de $\mathbb Z_p$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier. On note $$\mathbb Z_p=\left\{x=\frac {m}n;\ (m,n)\in\mathbb Z\times \mathbb N^*,\ p\wedge n=1\right\}.$$
  1. Vérifier que $\mathbb Z_p$ est un sous-anneau de $(\mathbb Q,+,\times)$.
  2. Soit $k\geq 0$. On note $$J_{p^k}=\left\{\frac mn;\ (m,n)\in\mathbb Z\times \mathbb N^*,\ p\wedge n=1,\ p^k| m\right\}.$$ Vérifier que $J_{p^k}$ est un idéal de $\mathbb Z_p$.
  3. Réciproquement, montrer que si $I$ est un idéal de $A$, il existe $k\geq 1$ tel que $I=J_{p^k}$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Idéaux de l'anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble fini et $A=\mathcal P(E)$.
  1. Montrer que $(A,\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif. Est-il intègre?
  2. Soit $E'\subset E$. Démontrer que $I=\mathcal P(E')$ est un idéal de $A$.
  3. Réciproquement, soit $I$ un idéal de $A$. Prouver que $$\left\{\begin{array}{ll} \forall X\in I,\ \forall Y\subset X,\ Y\in I\\ \forall X\in I,\ \forall Y\in I,\ X\cup Y\in I. \end{array}\right. $$
  4. En déduire qu'il existe $E'\subset E$ tel que $I=\mathcal P(E')$.
  5. Si $E$ est infini, démontrer que l'ensemble des parties finies de $E$ forme un idéal de $A$ qui n'est pas de la forme $\mathcal P(E)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif (unitaire). Si $I$ est un idéal de $A$, on appelle radical de I l'ensemble $\sqrt{I}=\{x\in A;\ \exists n\geq 1,\ x^n\in I\}$.
  1. Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
  2. Soient $I,J$ deux idéaux de $A$ et $p\geq 1$. Montrer que $$\sqrt{I.J}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J},\ \sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}\textrm{ et }\sqrt{I^p}=\sqrt{I}.$$
  3. Si $A=\mathbb Z$ et $I=k\mathbb Z$, $k\geq 1$, déterminer le radical de $I$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Idéaux premiers - idéaux maximaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit qu'un idéal $I$ est premier si $xy\in I\implies x\in I$ ou $y\in I$. On dit que $I$ est maximal si, pour tout idéal $J$ de $A$ tel que $I\subset J$, on a $J=I$ ou $J=A$.
  1. Déterminer les idéaux premiers de $\mathbb Z$.
  2. Soit $I$ un idéal et $x\in A\backslash I$. Soit $J$ l'idéal engendré par $I$ et $x$. Montrer que $$J=\left\{a\in A;\ \exists i\in I,\ \exists k\in A,\ a=i+kx\right\}.$$
  3. En déduire que tout idéal maximal est premier.
  4. Montrer que si tous les idéaux de $A$ sont premiers, alors $A$ est un corps.
  5. Montrer que si $A$ est principal, tout idéal premier est maximal.
  6. (pour ceux qui savent quotienter par un idéal) Soit $I$ un idéal de $A$. Montrer que $I$ est premier si et seulement si $A/I$ est intègre. Montrer que $I$ est maximal si et seulement si $A/I$ est un corps. En déduire une autre preuve que $I$ maximal entraine $I$ premier.
Indication
Corrigé
Structure de corps
Exercice 18 - Un morphisme de corps est injectif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $K,L$ deux corps et soit $f:K\to L$ un morphisme d'anneaux.
  1. Démontrer que si $x\in K\backslash\{0_K\}$, alors $f(x)$ est inversible, et déterminer son inverse.
  2. En déduire qu'un morphisme de corps est injectif.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Q n'admet pas de sous-corps strict [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $\mathbb Q$ n'admet pas d'autre sous-corps que lui-même.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que $A$ est un corps.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $d\in\mathbb N$ tel que $\sqrt d\notin \mathbb Q$. On note $$\mathbb Q[\sqrt d]=\{a+b\sqrt d;\ (a,b)\in\mathbb Q ^2\}.$$ Démontrer que $(\mathbb Q[\sqrt d],+,\times)$ est un corps.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Degré d'une extension de corps [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K,L,M$ trois corps tels que $K$ est un sous-corps de $L$ et que $L$ est un sous-corps de $M$.
  1. Démontrer que $L$ peut être muni d'une structure de $K$-espace vectoriel, et que $M$ peut être muni d'une structure de $L$-espace vectoriel et d'une structure de $K$-espace vectoriel.
  2. On suppose que $L$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et que $M$ est un $L$-espace vectoriel de dimension finie $p$. Démontrer que $M$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie dont on précisera la dimension.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Produit de tous les éléments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ un corps fini. Calculer $\prod_{x\in K^*}x$.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ un corps fini. On souhaite démontrer que le groupe multiplicatif $(K^*,\times)$ est cyclique. On note $n$ le cardinal de ce groupe.
  1. Préliminaire 1 : Soit $G$ un groupe abélien, $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordres respectifs $p$ et $q$. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Démontrer que $xy$ est d'ordre $pq$.
  2. Préliminaire 2 : Soient $a,b\in\mathbb N^*$. Démontrer qu'il existe $a',b'$ tels que $a'|a$, $b'|b$, $a'\wedge b'=1$ et $a'b'=a\vee b$.
  3. Démontrer qu'il existe dans $K$ un élément d'ordre égal à $m$, le ppcm des éléments de $K$.
  4. Démontrer que $m\geq n$, puis conclure.
Indication
Corrigé
L'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$
Enoncé
Résoudre, dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$, les équations ou systèmes d'équations suivants :
  1. $\bar 7y=\bar 2$.
  2. $\left\{\begin{array}{rcl} \bar 3x+\bar 7y&=&\bar 3\\ \bar 6x-\bar 7y&=&\bar 0 \end{array}\right.$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Contre-exemple au théorème chinois [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les groupes $\mathbb Z/8\mathbb Z$, $(\mathbb Z/2\mathbb Z)\times(\mathbb Z/4\mathbb Z)$ et $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^3$ sont-ils isomorphes?
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre
  1. $x^2+x+\overline 7=\overline 0$ dans $\mathbb Z/13\mathbb Z$.
  2. $x^2-\overline 4x+\overline 3=\overline 0$ dans $\mathbb Z/12\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Carrés de $\mathbb Z/p\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier impair. On rappelle que le groupe $G=(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$ est cyclique, c'est-à-dire qu'il existe $x_0\in G$ tel que $\{x_0^s;\ s\geq 0\}=G$.
  1. Soit $x\in G$. Que vaut $x^{p-1}$?
  2. En déduire que si $k$ est un carré dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$, ie s'il existe $l$ tel que $k=l^2$, alors $k^{\frac{p-1}{2}}=1$.
  3. Prouver la réciproque.
  4. Soit $x\in G$. Que peut valoir $x^{(p-1)/2}$?
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Ordre d'élements dans le groupe des inversibles de Z/nZ et divisibilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de montrer qu'il n'existe pas d'entier $n\geq 2$ tel que $n$ divise $2^n-1$. On raisonne par l'absurde et on supposons qu'un tel entier $n$ existe. On note $p$ le plus petit diviseur premier de $n$.
  1. Montrer que $p>2$.
  2. On note $m$ l'ordre de la classe de 2 dans $(\mathbb Z/p\mathbb Z)^*$.
    1. Montrer que $m|p-1$.
    2. Montrer que $m|n$.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Test de primalité de Miller-Rabin [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier impair que l'on écrit sous la forme $p=2^s\times d+1$. Soit $a\in\{1,\dots, p-1\}$. On définit une suite $(b_i)$ en posant $$b_{i}=a^{d\times 2^i}.$$
  1. Question prélimaire : Montrer que dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$, l'équation $x^2=1$ entraine $x=1$ ou $x=-1$.
  2. Montrer que $b_{s}\equiv 1\ [p]$.
  3. On suppose que $b_0$ n'est pas congru à 1 modulo $p$. Montrer l'existence de $i\in\{0,\dots,s-1\}$ tel que $b_i\equiv -1\ [p]$.
  4. En déduire un test de non-primalité d'un entier.
Indication
Corrigé
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Wilson : un entier $n\geq 2$ est premier si et seulement si $(n-1)!\equiv -1\ [n]$.
  1. Soit $p\geq 2$ premier. Combien de solutions l'équation $x^2=1$ admet-elle de solutions dans $\mathbb Z/p\mathbb Z$?
  2. Soit $p\geq 2$ premier. Montrer que $(p-1)!=-1\ [p]$.
  3. Soit $n\geq 2$ un entier tel que $n$ divise $(n-1)!+1$. Montrer que pour tout $a\in\{1,\dots,n-1\}$, $a$ est inversible dans $(\mathbb Z/n\mathbb Z,\times)$. En déduire que $n$ est premier.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Un groupe d'inversibles non cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 3$ un entier.
  1. Soit $a$ un entier impair. Montrer que $a^{2^{n-2}}\equiv 1\ [2^n]$.
  2. Le groupe $\Big(\mathbb Z/(2^n\mathbb Z)\Big)^*$ est-il cyclique?
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Application à la résolution d'une équation diophantienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Dresser la liste des cubes dans $\mathbb Z/13\mathbb Z$;
  2. Soient $x,y,z\in\mathbb Z$ tels que $5x^3+11y^3+13z^3=0$. Montrer que $13$ divise $x,y$ et $z$.
  3. L'équation $5x^3+11y^3+13z^3=0$ admet-elle des solutions non nulles dans $\mathbb Z^3$?
Indication
Corrigé
Arithmétique de polynômes
Enoncé
Déterminer les pgcd suivants :
  1. $P(X)=X^4-3X^3+X^2+4$ et $Q(X)=X^3-3X^2+3X-2$;
  2. $P(X)=X^5-X^4+2X^3-2X^2+2X-1$ et $Q(X)=X^5-X^4+2X^2-2X+1$;
  3. $P(X)=X^n-1$ et $Q(X)=(X-1)^n$, $n\geq 1$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver deux polynômes $U$ et $V$ de $\mathbb R[X]$ tels que $AU+BV=1$, où $A(X)=X^7-X-1$ et $B(X)=X^5-1$.
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Polynômes ayant un facteur commun [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $P$ et $Q$ des polynômes de $\mtc[X]$ non constants. Montrer que $P$ et $Q$ ont un facteur commun si, et seulement si, il existe $A,B\in\mtc[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$, tels que $AP=BQ$ et $\deg(A)<\deg(Q)$, $\deg(B)<\deg(P)$.
Indication
Corrigé
Exercice 37 - Équation de congruence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les polynômes $P\in\mathbb R_3[X]$ tels que $(X-1)^2$ divise $P(X)+1$ et $(X+1)^2$ divise $P(X)-1$.
Indication
Corrigé
Exercice 38 - Pgcd de deux polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $n,m\geq 1$. Déterminer le pgcd de $X^n-1$ et $X^m-1$.
Indication
Corrigé
Décomposition en produits d'irréductibles
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ les polynômes suivants : $$\begin{array}{lllll}\mathbf{1.}\ \ X^4+1&\quad&\mathbf{2.}\ X^8-1&\quad&\mathbf{3.}\ (X^2-X+1)^2+1 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 40 - Décomposition à partir d'une racine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère le polynôme $P(X)=2X^3-X^2-X-3$.
  1. Déterminer une racine rationnelle de $P$.
  2. En déduire la factorisation de $P$ en produit d'irréductibles de $\mathbb C[X]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P$ le polynôme $X^4-6X^3+9X^2+9$.
  1. Décomposer $X^4-6X^3+9X^2$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb R[X]$.
  2. En déduire une décomposition de $P$ en produit de facteurs irréductibles dans $\mathbb C[X]$, puis dans $\mathbb R[X]$.
Indication
Corrigé
Exercice 42 - Factorisation simultanée! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les deux polynômes suivants : $$P(X)=X^3-9X^2+26X-24\textrm{ et }Q(X)=X^3-7X^2+7X+15.$$ Décomposer ces deux polynômes en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, sachant qu'ils ont une racine commune.
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$ le polynôme $P(X)=X^9+X^6+X^3+1$.
Indication
Corrigé
Exercice 44 - Racines $n$-ièmes de l'unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Rappeler la décomposition en produits d'irréductibles de $X^n-1$.
  2. En déduire la décomposition en produits d'irréductibles de $1+X+\dots+X^{n-1}$.
  3. Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n\right)$.
  4. Pour $\theta\in\mathbb R$, calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}n+\theta\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 45 - Tout polynôme positif est somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $$\mathcal S=\{P\in \mathbb R[X];\ \exists P_1,P_2\in \mathbb R[X];\ P=P_1^2+P_2^2\}.$$
  1. Montrer que $\mathcal S$ est stable par produit. On pourra considérer l'application $\phi:\mathbb C[X]\to\mathbb R[X]$, $P\mapsto P\bar P$.
  2. Soit $P\in\mathbb R[X]$ tel que $P(x)\geq 0$ pour tout $x\in\mathbb R$. Montrer qu'il existe $A,B\in\mathbb R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'un polynôme $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$ est réciproque s'il s'écrit $P=a_nX^n+\dots+a_0$ avec $a_k=a_{n-k}$ pour tout $k$ dans $\{0,\dots,n\}$.
  1. Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n$. Démontrer que $P$ est réciproque si et seulement si $P(X)=X^n P\left(\frac 1X\right)$.
  2. Montrer qu'un produit de polynômes réciproques est réciproque.
  3. On suppose que $P$ et $Q$ sont réciproques et que $Q|P$. Démontrer que $\frac PQ$ est réciproque.
  4. Soit $P\in\mathbb C[X]$ un polynôme réciproque.
    1. Démontrer que si $\alpha$ est une racine de $P$, alors $\alpha\neq 0$ et $\alpha^{-1}$ est une racine de $P$.
    2. Démontrer que si $1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
    3. Démontrer que si le degré de $P$ est impair, alors $-1$ est racine de $P$.
    4. Démontrer que si $P$ est de degré pair et si $-1$ est une racine de $P$, alors sa multiplicité est supérieure ou égale à $2$.
  5. Démontrer que tout polynôme réciproque de $\mathbb C[X]$ de degré $2n$ se factorise en $$P=a_{2n}(X^2+b_1X+1)\dots(X^2+b_n X+1).$$ Que peut-on dire si le degré de $P$ est impair?
Indication
Corrigé