$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : topologie des espaces vectoriels normés

$(E,\|\cdot\|)$ désigne un espace vectoriel normé sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Ouverts, fermés, parties denses
  • Soit $x$ un point de $E$ et $V$ une partie de $E$. On dit que $V$ est un voisinage de $x$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset V$.
  • On dit qu'une partie $U$ de $E$ est un ouvert s'il est voisinage de tous ses points. Autrement dit, $U$ est ouvert si, pour tout $x\in U$, il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset U$.
  • Proposition :
    • une réunion quelconque d'ouverts est un ouvert.
    • une intersection finie d'ouverts est un ouvert.
  • On dit qu'une partie $F$ de $E$ est un fermé de $E$ si son complémentaire est un ouvert de $E$.
  • Proposition :
    • une réunion finie de fermés est un fermé.
    • une intersection quelconque de fermés est un fermé.
  • Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ est un point intérieur de $A$ s'il existe $r>0$ tel que $B(x,r)\subset A$. On appelle intérieur de $A$ et on note $\mathring A$ l'ensemble des points intérieurs de $A$. L'ensemble $\mathring A$ est un ouvert : c'est le plus grand ouvert contenu dans $A$.
  • Soit $A$ une partie de $E$. On dit que $x\in E$ un un point adhérent à $A$ si, pour tout $r>0$, on a $B(x,r)\cap A\neq\varnothing$. On appelle adhérence de $A$ et on note $\bar A$ l'ensemble des points adhérents à $A$. L'ensemble $\bar A$ est un fermé : c'est le plus petit fermé contenant $A$.
  • On appelle également frontière de $A$ l'ensemble $\bar A\backslash \mathring A$.
  • Théorème (caractérisation séquentielle) : Soit $A$ une partie de $E$ et $x\in E$.
    • $x\in\bar A$ si et seulement s'il existe une suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $x$.
    • $A$ est fermé si et seulement si, pour toute suite $(u_n)$ d'éléments de $A$ qui converge vers $\ell\in E$, alors $\ell\in A$.
  • Une partie $A$ de $E$ est dense dans $E$ si son adhérence est égale à $E$. Autrement dit, $A$ est dense dans $E$ si et seulement tout $x\in E$ est limite d'une suite $(x_n)$ d'éléments de $A$.
  • Soit $A$ une partie de $E$. On appelle ouvert relatif de A l'intersection d'un ouvert de $E$ avec $A$. De même, on appelle fermé relatif de A l'intersection d'un fermé de $E$ avec $A$. Un fermé relatif de $A$ est aussi le complémentaire dans $A$ d'un ouvert relatif de $A$.
  • Proposition : Soit $A$ une partie de $E$ et $F$ une partie de $A$. Alors $F$ est un fermé relatif de $A$ si, pour toute suite $(x_n)$ d'éléments de $F$ qui converge vers un élément $\ell$ de $A$, alors $\ell\in F$.
  • Théorème : Si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $E$ telles que $N_1$ est équivalente à $N_2$, alors tout ouvert de $(E,N_1)$ est un ouvert de $(E,N_2)$.
Limites
$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f:A\to F$ est une fonction.
  • Soit $a\in\bar A$. On dit que $f$ admet une limite en $a$ s'il existe $\ell\in F$ tel que, pour tout $\veps>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in B(a,\delta)\cap A$, on a $\|f(x)-\ell\|<\veps$. Si $f$ admet une limite en $a$, cette limite est nécessairement unique.
  • Proposition : $f$ admet pour limite $\ell$ en $a\in\bar A$ si et seulement si pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $a$, alors $\big(f(x_n)\big)$ converge vers $\ell$.
  • Si $F=\mathbb R$, on dit que $f$ admet $+\infty$ comme linite en $a\in\bar A$ si, pour tout $M>0$, il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in B(a,\delta)$, on a $f(x)\geq M$.
  • Si $E=\mathbb R$ et $A$ est une partie non majorée de $\mathbb R$, on dit que $f$ admet pour limite $\ell\in F$ en $+\infty$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\in A$ avec $x\geq M$, on a $\|f(x)-b\|\leq \veps$.
  • Si $A$ est une partie non bornée de $E$, on dit que $f$ admet pour limite $b\in F$ lorsque $\|x\|$ tend vers $+\infty$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $M>0$ tel que, pour tout $x\in A$ avec $\|x\|\geq M$, on a $\|f(x)-b\|\leq \veps$.
  • Proposition : Soit $F=F_1\times\dots\times F_p$ un espace vectoriel normé produit et $f=(f_1,\dots,f_p)$ une application de $A$ dans $F$. L'application $f$ admet au point $a$ la limite $\ell=(\ell_1,\dots,\ell_p)$ si et seulement si, pour tout $i=1,\dots,p$, l'application $f_i$ admet au point $a$ la limite $\ell_i$.
Opérations sur les limites
$(E,\|\cdot\|)$, $(F,\|\cdot\|)$ et $(G,\|\cdot\|)$ désignent des espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$, $B$ est une partie de $F$, et $f:A\to F$, $g:B\to G$, $h:A\to F$ et $u:A\to \mathbb K$ sont des fonctions. Soit $a\in \bar A$.
  • Si $f$ et $h$ admettent pour limites respectives $\ell_1$ et $\ell_2$ en $a$, alors pour tout $\lambda\in\mathbb K$, $f+\lambda h$ admet pour limite $\ell_1+\lambda\ell_2$ en $a$.
  • Si $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ et si $u$ admet pour limite $\alpha$ en $a$, alors $uf$ admet pour limite $\alpha\ell$ en $a$.
  • Théorème : On suppose que $f(A)\subset B$ et que $f$ admet comme limite $b$ en $a$. Alors
    • $b$ est élément de l'adhérence de $B$.
    • si $g$ admet comme limite $\ell$ en $b$, alors $g\circ f$ admet comme limite $\ell$ en $a$.
Continuité
$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés. $A$ est une partie de $E$.
  • On dit que $f:A\to F$ est continue en $a\in A$ si $f$ admet une limite en $a$ (nécessairement égale à $f(a)$). On dit que $f$ est continue sur $A$ si elle est continue en chaque point de $A$.
  • Théorème : $f:A\to F$ est continue en $a\in A$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui tend vers $a$, alors $\big(f(x_n)\big)$ tend vers $f(a)$.
  • Corollaire : Deux applications continues $f,g:A\to F$ qui coïncident sur une partie dense de $A$ sont égales.
  • La somme, la composée de deux applications continues est une application continue. De même, si $f:A\to F$ est continue et $u:A\to\mathbb K$ est continue, alors $u\times f$ est continue.
  • Théorème : L'image réciproque d'un ouvert par une application continue est un ouvert. L'image réciproque d'un fermé par une application continue est un fermé.
Continuité uniforme, applications lipschitiziennes
$(E,\|\cdot\|)$ et $(F,\|\cdot\|)$ désignent deux espaces vectoriels normés, $A$ est une partie de $E$ et $f:A\to F$ est une fonction.
  • On dit que $f$ est uniformément continue sur $A$ si, pour tout $\veps>0$, il existe $\delta>0$ tel que $$\forall x,y\in A,\ \|x-y\|<\delta\implies \|f(x)-f(y)\|<\veps.$$
  • On dit que $f$ est lipschitzienne de rapport $k\in\mathbb R$ si $$\forall x,y\in A,\ \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|.$$
  • Toute application lipschitzienne est uniformément continue. Toute application uniformément continue est continue. Les réciproques sont fausses.
Applications linéaires continues
  • Théorème : Soient $(E,\|\cdot\|)$, $(F,\|\cdot\|)$ deux espaces vectoriels normés, et soit $u\in\mathcal L(E,F)$ une application linéaire. Alors $u$ est continue si et seulement s'il existe $C>0$ tel que, pour tout $x\in E$, $$\|u(x)\|\leq C\|x\|.$$
  • On note $\mathcal L_c(E,F)$ l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $F$.