$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Suites et séries de fonction

Convergence simple, convergence uniforme
  Soit $A$ une partie de $\mathbb R$; soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $\mathbb R$ et $f:A\to \mathbb R$.
  • On dit que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $A$ si : $$\forall \veps>0,\ \forall x\in A,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \veps.$$
  • On dit que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si : $$\forall \veps>0,\ \exists n_0\in\mathbb N\textrm{ tel que }\forall x\in A,\ \forall n\geq n_0,\ |f_n(x)-f(x)|\leq \veps.$$
  • La convergence simple traduit que pour chaque $x\in A$, la suite de réels $(f_n(x))$ converge vers $f(x)$. La convergence uniforme impose en plus que la convergence se fait toujours à la même vitesse. Si toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont bornées, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $A$ si et seulement si $(\|f_n-f\|_{A,\infty})$ tend vers $0$, où $$\|g\|_{\infty,A}=\sup\{|g(x)|;\ x\in A\}.$$
Propriétés conservées
  Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $(f_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$.
  • Continuité : On suppose que toutes les $f_n$ sont continues en $a\in I$ et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $f$ est continue en $a$.
  • En particulier, si toutes les $f_n$ sont continues sur $I$, alors $f$ est continue sur $I$.
  • Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal C^1$ et qu'il existe $g:I\to\mathbb R$ vérifiant
    • $(f_n)$ converge simplement vers $f$ sur $I$.
    • La suite de fonctions $(f'_n)$ converge uniformément vers $g$ sur tout segment contenu dans $I$.
    Alors la fonction $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et $f'=g$.
  • Caractère $\mathcal C^k$ : On suppose que toutes les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal C^k$ et qu'il existe des fonctions $g_j:I\to\mathbb R$, $0\leq j\leq k$ telles que
    • pour tout $j=0,\dots,k-1$, $(f_n^{(j)})$ converge simplement vers $g_j$ sur $I$;
    • $(f_n^{(k)})$ converge uniformément vers $g_k$ sur tous les segments contenus dans $I$.
    Alors $g_0$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $I$ et pour tout $j\leq k$, $g_0^{(j)}=g_j$.
  • Permutation limite/intégrale : On suppose que $I=[a,b]$ est un segment, que toutes les fonctions $f_n$ sont continues et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. Alors $$\lim_{n\to+\infty}\int_a^b f_n(t)dt=\int_a^b \lim_n f_n(t)dt=\int_a^b f(t)dt.$$
  • Théorème d'interversion des limites : On suppose que $I=[a,b[$ et que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $(f_n)$ admet une limite $\ell_n$ en $b$. Alors la suite $(\ell_n)$ converge vers une limite $\ell$, $f$ admet une limite en $b$ et $\lim_{x\to b}f(x)=\ell$.
    Ce théorème est souvent appliqué avec $b=+\infty$.
Séries de fonctions
  Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $(u_n)$ une suite de fonctions de $I$ dans $\mathbb R$
  • On dit que la série de fonctions $\sum_n u_n(x)$ converge simplement vers $S$ sur $I$ si la suite de ses sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$ converge simplement vers $S$ sur $I$.
  • On dit que la série de fonctions $\sum_n u_n(x)$ converge uniformément vers $S$ sur $I$ si la suite de ses sommes partielles $S_n(x)=\sum_{k=1}^n u_k(x)$ converge uniformément vers $S$ sur $I$.
  • On dit que la série de fonctions $\sum_n u_n(x)$ converge normalement sur $I$ si la série numérique $\sum_n \|u_n\|_{\infty,I}$ est convergente.
  • Théorème : Si $\sum_n u_n(x)$ converge normalement sur $I$, alors elle converge uniformément.
  • Les théorèmes relatifs aux suites de fonctions restent vraies dans ce nouveau cadre. Ils ont désormais les énoncés suivants :
  • Continuité : On suppose que toutes les $u_n$ sont continues en $a\in I$ et que $\sum_n u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. Alors $S$ est continue en $a$.
  • En particulier, si toutes les $u_n$ sont continues sur $I$, alors $S$ est continue sur $I$.
  • Dérivabilité : On suppose que toutes les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal C^1$ et que
    • $\sum_n u_n$ converge simplement sur $I$.
    • $\sum_n u_n'$ converge uniformément sur tout segment contenu dans $I$.
    Alors la fonction $S:x\mapsto \sum_{n\geq 1}u_n(x)$ est de classe $\mathcal C^k$ et $S'(x)=\sum_{n\geq 1}u_n'(x)$.
  • Caractère $\mathcal C^k$ : On suppose que toutes les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal C^k$ et que
    • pour tout $j=0,\dots,k-1$, $\sum_n u_n^{(j)}$ converge simplement sur $I$;
    • $\sum_n u_n^{(k)}$ converge uniformément sur tous les segments contenus dans $I$.
    Alors la fonction $S:x\mapsto \sum_{n\geq 1}u_n(x)$ est de classe $\mathcal C^1$ et pour tout $j=0,\dots,k$, $S^{(j)}(x)=\sum_{n\geq 1}u_n^{(j)}(x)$.
  • Permutation limite/intégrale : On suppose que $I=[a,b]$ est un segment, que toutes les fonctions $u_n$ sont continues et que $\sum_n u_n$ converge uniformément. Alors la série $\sum_n \int_a^b u_n(t)dt$ converge et on a $$\int_a^b \sum_n u_n(t)dt=\sum_{n\geq 0}\int_a^b u_n(t)dt.$$
  • Théorème d'interversion des limites : On suppose que $I=[a,b[$ et que $\sum_n u_n$ converge uniformément vers $S$ sur $I$. On suppose de plus que chaque fonction $(u_n)$ admet une limite $\ell_n$ en $b$. Alors la série $\sum_n \ell_n$ converge, $S$ admet une limite en $b$ et $$\lim_{x\to b}S(x)=\sum_{n\geq 1}\ell_n.$$
Extension aux espaces vectoriels normés
  Certains des résultats précédents restent vrais si on définit maintenant nos fonctions sur une partie $A$ d'un espace vectoriel normé $E$, et si elles sont à valeurs dans un autre espace vectoriel normé $F$, par exemple la préservation de la continuité, le fait que la convergence normale entraîne la convergence uniforme, le théorème de permutation des limites, que l'on peut énoncer sous la forme plus générale suivante :
Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ convergeant uniformément vers $f$ sur $A$, et soit $a$ un point adhérent à $A$; si, pour tout $n$, $f_n$ admet une limite $\ell_n$ en a, alors $(\ell_n)$ admet une limite $\ell$, $f$ admet une limite en $a$ et $$\lim_{x\to a}f(x)=\ell.$$
En revanche, toutes les propriétés relatives à l'intégration et à la dérivation nécessitent que l'ensemble de départ soit un intervalle (il faut bien pouvoir donner un sens aux objets considérés!).
Approximation uniforme
  • Théorème : Toute fonction continue par morceaux sur un segment est limite uniforme sur ce segment de fonctions en escalier.
  • Théorème de Weierstrass : Toute fonction continue sur un segment est limite uniforme sur ce segment de fonctions polynomiales.