$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Réduction des endomorphismes

$E$ désigne un $\mathbb K$-espace vectoriel, $\mathbb K$ étant le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice carrée
  Soit $u,v\in\mathcal L(E)$ et soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit qu'un sous-espace $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. On peut alors définir un endomorphisme $u_F$ de $F$ en posant $u_F(x)=u(x)$ pour tout $x\in F$. $u_F$ s'appelle l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$.
  • Proposition : si $u$ et $v$ commutent, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$.
  • Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et soit $\mathcal B$ une base dont les premiers vecteurs forment une base de $F$. Alors la matrice de $u$ dans cette base a la forme $$\left(\begin{array}{c|c} A&B\\ \hline 0&C \end{array}\right)$$ si et seulement si $F$ est stable par $u$.
  • On dit que $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non-nul $x\in E$ tel que $u(x)=\lambda x$. $x$ s'appelle alors un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.
  • Si $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$, le sous-espace propre associé à $\lambda$ est le sous-espace $E_\lambda=\ker(u-\lambda Id_E)$.
  • L'ensemble des valeurs propres de $u$ s'appelle le spectre de $u$ et est noté $\textrm{Sp}(u)$.
  • Théorème : Si $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u$, alors les sous-espaces propres associés $E_{\lambda_1},\dots,E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.
  • Corollaire : Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment toujours une famille libre.
  • Corollaire : Si $E$ est de dimension finie $n$, $u$ admet au plus $n$ valeurs propres.
  • On dit que $A$ et $B$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $A=PBP^{-1}$.
  • $A$ définit un endomorphisme de $\mathbb K^n$ par $X\mapsto AX$.
  • On définit valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de $A$ comme les valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$. En particulier, $X$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ si et seulement si $AX=\lambda X$.
  • Proposition : Deux matrices semblables ont le même spectre.
Polynôme caractéristique
$E$ est désormais de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On appelle polynôme caractéristique de $A$ le polynôme de degré $n$ $\chi_A(X)=\det(XI_n-A)$.
  • En particulier, si $A$ est une matrice triangulaire (inférieure ou supérieure) dont les coefficients diagonaux sont $\lambda_1,\dots,\lambda_n$, alors le polynôme caractéristique de $A$ est $$\chi_A(X)=(X-\lambda_1)\cdots (X-\lambda_n).$$
  • Proposition : Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique.
  • On appelle polynôme caractéristique de $u$ le polynôme caractéristique de toute matrice $A$ représentant $u$ dans une base de $E$. On le note $\chi_u(X)$.
  • Proposition : $\chi_A$ est un polynôme unitaire, $$\chi_A(X)=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\dots+a_0,$$ avec $a_{n-1}=-\textrm{tr}(A)$ et $a_0=(-1)^n\det(A)$.
  • Théorème : Les racines du polynôme caractéristique de $A$ (resp. $u$) sont exactement les valeurs propres de $A$ (resp. $u$).
  • On appelle multiplicité de la valeur propre $\lambda$ sa multiplicité comme racine du polynôme caractéristique. On la note $\textrm{mult}(\lambda)$.
  • Proposition : On a $\dim(E_\lambda)\leq \textrm{mult}(\lambda)$.
  • Proposition : Si $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $u$ et si $u_F$ est l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$, alors $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.
Endomorphismes et matrices diagonalisables
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Une telle base est donc constituée de vecteurs propres pour $u$.
  • Proposition : Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme de ces sous-espaces propres est égale à $E$.
  • Corollaire : Un projecteur et une symétrie sont diagonalisables.
  • Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé et si, pour toute valeur propre $\lambda$, on a $\dim(E_\lambda)=\textrm{mult}(\lambda)$.
  • Corollaire : Un endomorphisme de $E$ admettant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.
  • On dit que $A$ est diagonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est diagonalisable.
  • Proposition : $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale.
Endomorphismes et matrices trigonalisables
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
  • Théorème : $u$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé. En particulier, si $\mathbb K=\mathbb C$, tout endomorphisme est trigonalisable.
  • On dit que $A$ est diagonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est diagonalisable.
  • Proposition : $A$ est trigonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
  • En particulier, si $A$ est trigonalisable, sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (chaque valeur propre étant répétée autant de fois que sa multiplicité) et son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (répétées là aussi autant de fois que leur multiplicité).
Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est nilpotent s'il existe un entier $p$ tel que $u^p=0$. Le plus petit entier $p$ qui convient s'appelle l'indice de nilpotence de $u$.
  • Théorème : Les assertions suivantes sont équivalentes :
    • $u$ est nilpotent;
    • $\chi_u(X)=X^n$;
    • il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale.
  • Corollaire : L'indice de nilpotence de $u$ est majoré par $n$.
  • On dit que $A$ est nilpotente s'il existe $p\in\mathbb N$ tel que $A^p=0$.
  • Corollaire : $A$ est nilpotente si et seulement si $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale.