$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Espaces préhilbertiens et endomorphismes des espaces euclidiens

On a résumé ici les nouveautés spécifiques au programme de Math Spé. Evidemment, il faut encore savoir tout ce qui a été appris en Math Sup à ce sujet. On pourra pour cela consulter ce résumé de cours.

  On fixe $E$ un espace préhilbertien réel. Le produit scalaire est noté $\langle\cdot,\cdot\rangle$.
Projeté orthogonal sur un sous-espace de dimension finie
  On suppose dans cette partie que $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension finie.
  • $F^\perp$ est un sous-espace supplémentaire de $F$ appelé supplémentaire orthogonal de $F$. Si $E$ est lui-même de dimension finie, on a en particulier $$\dim(F^\perp)=\dim(E)-\dim(F).$$
  • Soit $x\in E$, qui s'écrit uniquement $x=y+z$ dans la somme directe $F\oplus F^\perp$. Alors $y$ s'appelle le projeté orthogonal de $x$ sur $F$, et est noté $p_F(x)$.
  • Si $(e_1,\dots,e_p)$ est une base orthonormée de $F$, alors $$p_F(x)=\sum_{i=1}^p \langle x,e_i\rangle e_i.$$
  • Théorème et définition : Pour tout $x\in E$ et tout $f\in F$, on a $$\|x-f\|\geq \|x-p_F(x)\|$$ avec égalité si et seulement si $f=p_F(x)$. La quantité $$d(x,F)=\|x-p_F(x)\|=\inf_{f\in F}\|x-f\|$$ d'appelle distance de $x$ à $F$.
  • Par le théorème de Pythagore, on a $$d(x,F)=\sqrt{\|x\|^2-\|p_F(x)\|^2}.$$
  • Inégalité de Bessel : Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une famille orthonormale de $E$. Alors pour tout $x\in E$, on a $$\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2\leq \|x\|^2.$$
Suites totales
  • Une suite $(e_n)_{n\geq 0}$ de $E$ est une suite totale si l'espace vectoriel engendré par les $e_n$ est dense dans $E$.
  • Théorème : Soit $(e_k)_{k\in\mathbb N}$ une suite orthonormale totale de $E$. Notons, pour $n\geq 0$, $p_n$ la projection orthogonale sur l'espace vectoriel engendré par $(e_0,\dots,e_n)$. Alors pour tout $x\in E$, $(p_n(x))$ converge vers $x$.
Matrices orthogonales
  On suppose dans cette partie que $E$ est euclidien de dimension $n$.
  • On appelle matrice orthogonale de taille $n$ toute matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ vérifiant $M^T M=I_n$. On a alors automatiquement $MM^T=I_n$. De plus, $M$ est inversible avec $M^{-1}=M^T$.
  • Une matrice est orthogonale si et seulement ses colonnes forment une base orthonormale de $\mathbb R^n$, si et seulement si ses lignes forment une base orthonormale de $\mathbb R^n$.
  • L'ensemble des matrices orthogonales de taille $n$ forme un groupe appelé groupe orthogonal et noté $\mathcal O_n(\mathbb R)$.
  • Le déterminant d'une matrice orthogonale vaut $\pm 1$. Une matrice orthogonale est dite positive si son déterminant vaut $1$, négative si son déterminant vaut $-1$. L'ensemble des matrices orthogonales positives forme un groupe appelé le groupe spécial orthogonal et note $SO_n(\mathbb R)$.
  • Proposition (changement de base orthonormale) : Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E$ et soit $(f_1,\dots,f_n)$ une famille de vecteurs de $E$. On a l'équivalence suivante
    • $(f_1,\dots,f_n)$ est une base orthonormale de $E$;
    • la matrice de passage de $(e_1,\dots,e_n)$ à $(f_1,\dots,f_n)$ est une matrice orthogonale.
Endomorphismes symétriques
  On suppose dans cette partie que $E$ est euclidien de dimension $n$.
  • Un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est symétrique (ou auto-adjoint) si pour tous $x,y\in E$, $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle$.
  • Matriciellement, dire qu'un endomorphisme est symétrique est équivalent à dire que sa matrice dans une base orthonormale est symétrique.
  • Proposition : Un projecteur de $E$ est symétrique si et seulement si c'est un projecteur orthogonal.
  • Proposition : Si $u\in\mathcal L(E)$ est symétrique, alors $(\ker u)^\perp=\textrm{Im}(u)$.
  • Proposition : Si $u\in\mathcal L(E)$ est symétrique et si $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $u$, alors $F^\perp$ est un sous-espace de $E$ stable par $u$.
  • Théorème spectral : Soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. Alors $E$ est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de $u$. De façon équivalente, il existe une base orthonormale de $E$ constituée de vecteurs propres pour $u$.
  • Corollaire : Soit $M$ une matrice symétrique réelle. Alors il existe une matrice orthogonale $P$ et une matrice diagonale $D$ telle que $M=PDP^T$.
Isométries vectorielles
  On suppose dans cette partie que $E$ est euclidien de dimension $n$.
  • Un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est un automorphisme orthogonal, ou une isométrie vectorielle si pour tout $x\in E$, $\|u(x)\|=\|x\|$. On note $\mathcal O(E)$ l'ensemble des automorphismes orthogonaux de $E$; $\mathcal O(E)$ est un sous-groupe de $GL(E)$.
  • Un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est orthogonal si et seulement s'il conserve le produit scalaire.
  • Théorème : Soit $f\in\mathcal L(E)$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
    • $f$ est orthogonal;
    • La matrice de $f$ dans toute base orthonormale de $E$ est orthogonale.
  • Proposition : Si $u\in\mathcal L(E)$ est une isométrie vectorielle et si $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $u$, alors $F^\perp$ est un sous-espace de $E$ stable par $u$.
  • Théorème spectral : Soit $u\in\mathcal O(E)$. Alors il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $(1)$, $(-1)$ ou $$\left(\begin{array}{cc} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{array}\right),\ \theta\in\mathbb R.$$ Autrement dit $E$ est la somme directe orthogonale des sous-espaces propres associés aux valeurs propres $1$ et $-1$, et de plans sur lesquels $u$ opère comme une rotation.
  • En termes de matrices, le théorème précédent dit qu'une matrice orthogonale est orthogonalement semblable à une matrice de la forme $$\left( \begin{array}{ccccc} I_p&0&\dots&&0\\ 0&-I_q&\ddots&\\ \vdots&\ddots& \left(\begin{array}{cc} \cos\theta_1&-\sin\theta_1\\ \sin\theta_1&\cos\theta_1 \end{array}\right)&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\dots&\dots&0& \left(\begin{array}{cc} \cos\theta_r&-\sin\theta_r\\ \sin\theta_r&\cos\theta_r \end{array}\right) \end{array}\right).$$
Isométries vectorielles en dimension 2
  On suppose dans cette partie que $E$ est euclidien orienté de dimension 2.
  • Les matrices orthogonales positives en dimension 2 sont les matrices de la forme $$M(\theta)=\left(\begin{array}{cc} \cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta) \end{array}\right),\ \theta\in\mathbb R.$$ Les matrices orthogonales négatives en dimension 2 sont les matrices de la forme $$N(\theta)=\left(\begin{array}{cc} \cos(\theta)&\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&-\cos(\theta) \end{array}\right),\ \theta\in\mathbb R.$$
  • On appelle rotation vectorielle d'angle $\theta\in [0,2\pi[$ un endomorphisme orthogonal de $E$ dont la matrice dans une (dans toute) base orthonormale directe de $E$ est de la forme $M(\theta)$. On note l'endomorphisme correspondant $r_\theta$.
  • Si $u,v$ sont deux vecteurs unitaires de $E$, il existe une unique rotation vectorielle $r_\theta$ telle que $r_\theta(u)=v$. $\theta$ est appelé mesure de l'angle orienté $(u,v)$ (et est défini à $2\pi$-près).
  • Les automorphismes orthogonaux de $E$ sont les rotations vectorielles et les réflexions.
Isométries vectorielles en dimension 3
  On suppose dans cette partie que $E$ est euclidien orienté de dimension 3.
  • Orientation induite : Si $P$ est un plan de $E$ et $D$ la droite normale à $P$, il n'existe pas d'orientation a priori ni pour $D$, ni pour $P$. Choisissons une orientation sur $D$ en choisissant un vecteur unitaire $\vec u$ de $D$. $\vec u$ dirige $D$. Complétons $\vec u$ en $(\vec u,\vec v,\vec w)$ une base orthonormée directe de $E$. Alors $(\vec v,\vec w)$ est une base orthonormée de $P$. On oriente $P$ en disant que $(\vec v,\vec w)$ est une base orthonormée directe de $P$. Il s'agit ici de l'orientation induite par le choix de $\vec u$.
  • Si $u\in\mathcal O(E)$ a son déterminant égal à $1$ et $u$ n'est pas l'identité, l'espace propre associé à la valeur propre $1$ est de dimension 1. C'est donc une droite $D$ qu'on oriente par le choix d'un vecteur unitaire $\vec u$. La restriction de $\vec u$ sur le plan $P$ orthogonal à $D$ est une rotation. Soit $\theta$ son angle (tenant compte de l'orientation de $P$ induite par celle de $D$). On dit alors que $u$ est la rotation d'axe dirigé et orienté par $\vec u$ et d'angle $\theta$.