$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Polynômes d'endomorphismes

$E$ désigne un $\mathbb K$-espace vectoriel, $\mathbb K$ étant le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, et $u$ désigne un élément de $\mathcal L(E)$. On rappelle la notation suivante : $$u^n=u\circ u\circ\dots \circ u\textrm{ de sorte que }u^{p+q}=u^p\circ u^q.$$
Polynômes d'un endomorphisme
  • Soit $P\in\mathbb K[X]$, $P(X)=a_dX^d+a_{d-1}X^{d-1}+\dots+a_1X+a_0$. On note $P(u)$ l'endomorphisme de $E$ défini par $$P(u)=a_d u^d+a_{d-1}u^{d-1}+\dots+a_1u+a_0Id_E.$$
  • Proposition : L'application de $\mathbb K[X]$ dans $\mathcal L(E)$ définie par $P\mapsto P(u)$ est un morphisme d'algèbres. Son image est une sous-algèbre commutative de $\mathcal L(E)$, notée $\mathbb K[u]$. C'est la plus petite algèbre de $\mathcal L(E)$ contenant $u$. Son noyau s'appelle l'idéal annulateur de $u$.
    En particulier, la proposition précédente implique que, pour tous $P,Q\in\mathbb K[X]$, on a $$(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u).$$
  • Théorème : Si $E$ est de dimension finie, alors le noyau de $P\mapsto P(u)$ n'est pas réduit à $\{0\}$. Il existe un unique polynôme unitaire $\pi_u$ qui engendre ce noyau. On appelle ce polynôme le polynôme minimal de $u$.
  • Le polynôme minimal de $u$ est donc caractérisé par $\pi_u(u)=0$ et si $P\in\mathbb K[X]$ est tel que $P(u)=0$, alors $\pi_u|P$.
    Dans la suite, on supposera désormais que $E$ est de dimension finie.
  • Proposition : Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $u$, alors $\{Id,u,\dots,u^{d-1}\}$ forme une base de $\mathbb K[u]$.
  • Proposition : Soit $P\in\mathbb K[X]$, $\lambda\in\textrm{Sp}(u)$ et $x\in E$ tel que $u(x)=\lambda x$. Alors $$P(u)(x)=P(\lambda)x.$$ En particulier, si $P$ est un polynôme annulateur de $u$, alors $P(\lambda)=0$.
  • Théorème de Cayley-Hamilton : Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est un polynôme annulateur de $u$.
  • On définit les mêmes notions pour la matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. Toutes les propriétés analogues sont vérifiées.
Lemme de décomposition des noyaux
  • Théorème : Soient $P_1,\dots,P_r\in\mathbb K[X]$ des polynômes premiers entre eux deux à deux et notons $P=P_1\cdots P_r$. Alors $$\ker(P(u))=\bigoplus_{i=1}^r \ker(P_i(u)).$$
Polynôme annulateur et diagonalisabilité
$E$ est de dimension finie $n$.
  • Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme scindé à racines simples annulant $u$, si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
  • Proposition : Soit $F$ un sous-espace stable par $u$ et notons $u_F$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $u_F$. Alors son polynôme minimal divise le polynôme minimal de $u$.
  • Corollaire : Si $F$ est un sous-espace stable par $u$ et si $u$ est diagonalisable, alors l'endomorphisme induit $u_F$ par $u$ sur $F$ est lui-même diagonalisable.
Endomorphisme à polynôme minimal scindé
$E$ est de dimension finie $n$.
  • Théorème : Si le polynôme minimal de $u$ est scindé, et si $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont ses racines, il existe des sous-espaces $N_1,\dots,N_p$ stables par $u$ tels que $E=\bigoplus_{i=1}^r N_i$ et tels que, si $u_i$ est l'endomorphisme induit par $u$ sur $N_i$, alors $u_i=\lambda_i Id_{N_i}+n_i$ où $n_i$ est un endomorphisme de $N_i$ nilpotent.