$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : intégrales impropres et fonctions intégrables

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Intégrale impropre
  • Soit $f:[a,+\infty[\to \mathbb K$ continue par morceaux. On dit que l'intégrale $\int_a^{+\infty}f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Dans ce cas, on note $\int_a^{+\infty} f(t)dt$ ou $\int_a^{+\infty}f$ cette limite.
  • Soit $f:[a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ cette limite.
  • Soit $f:]a,b[\to\mathbb K$ continue par morceaux avec $a,b\in\mathbb R\cup\{\pm\infty\}$. On dit que l'intégrale $\int_a^b f$ est convergente si, pour un (ou de façon équivalente pour tout) $c\in ]a,b[$, la fonction $x\mapsto \int_c^x f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $b$ et la fonction $x\mapsto \int_x^c f(t)dt$ admet une limite finie lorsque $x$ tend vers $a$. Dans ce cas, on note $\int_a^{b} f(t)dt$ ou $\int_a^{b}f$ la somme de ces deux limites : $$\int_a^b f=\lim_{x\to a}\int_x^c f+\lim_{y\to b}\int_c^yf.$$
  • Dans la suite, on considèrera $I=(a,b)$ un intervalle de $\mathbb R$ ouvert ou semi-ouvert et $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions continues par morceaux.
  • Les propriétés usuelles sont vérifiées :
    • positivité : si $\int_I f$ converge et si $f\geq 0$ sur $I$, alors $\int_I f\geq 0$;
    • linéarité : si $\int_I f$ et $\int_I g$ convergent, alors pour tout $\lambda\in\mathbb K$, $\int_I(f+\lambda g)$ converge et $\int_I(f+\lambda g)=\int_I f+\lambda \int_I g$.
    • Relation de Chasles : si $\int_I f$ converge, alors pour tout $c\in ]a,b[$, $\int_a^c f$ et $\int_c^b f$ convergent et on a $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$
  • Théorème (cas des fonctions positives) : Si $f:[a,b[\to\mathbb R$ est positive, alors $\int_a^{b}f$ converge si et seulement si la fonction $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est majorée sur $[a,b[$.
  • Théorème (intégrales de Riemann) :
    • L'intégrale $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha>1$.
    • L'intégrale $\int_a^b \frac{dx}{(x-a)^\alpha}$ est convergente si et seulement si $\alpha<1$.
  • Théorème (changement de variables) : Soit $f$ une fonction continue sur $]a,b[$ et $\varphi :]\alpha,\beta\to ]a,b[$ bijective, strictement croissante et de classe $\mathcal C^1$, les intégrales $\int_a^b f (t)dt$ et $\int_\alpha^\beta f\circ\varphi(u)\varphi'(u)du$ sont de même nature et égales en cas de convergence.
  • Théorème (intégration par parties) : Soient $f,g:]a,b[\to\mathbb R$ deux fonctions de classe $\mathcal C^1$ telles que $\lim_{t\to a}f(t)g(t)$ et $\lim_{t\to b}f(t)g(t)$ existent. Alors les intégrales $\int_a^b f(t)g'(t)dt$ et $\int_a^b f'(t)g(t)dt$ sont de même nature. Lorsqu'elles sont convergentes, on a $$\int_a^b f'(t)g(t)dt=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int_a^b f(t)g'(t)dt.$$
Fonctions intégrables
$I$ est un intervalle (semi)-ouvert de $\mathbb R$ et $f,g:I\to\mathbb K$ sont des fonctions continue par morceaux.
  • On dit que $f$ est intégrable sur $I$ ou que $\int_If$ est absolument convergente si $\int_I|f|$ converge.
  • Théorème : Si $f$ est intégrable sur $I$, alors $\int_I f(t)dt$ converge.
  • Si $f$ et $g$ sont intégrables sur $I$, alors $f+g$ est intégrable sur $I$ et on a $$\int_I |f+g|\leq \int_I |f|+\int_I |g|.$$
  • Si $f$ est continue sur $I$, intégrable et positive, alors $$\int_I |f(t)|dt=0\implies f\equiv 0.$$
  • Les deux propriétés précédentes entrainent que, si on note $\mathcal E(I)$ l'ensemble des fonctions continues et intégrables de $I$ dans $\mathbb K$, alors $\|f\|_1=\int_I |f(t)|dt$ est une norme sur $\mathcal E(I)$.
  • Théorème (critères d'intégrabilité par comparaison) : Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continues par morceaux.
    • si $0\leq f\leq g$ alors l’intégrabilité de $g$ sur $I$ implique celle de $f$;
    • si $f(x)\sim_b g(x)$ et si $f$ garde un signe constant au voisinage de $b$, l'intégrabilité de $g$ sur $I$ est équivalente à celle de $f$.
  • Le premier point du théorème précédent s'applique en particulier si $f(x)=_b O\big(g(x)\big)$ ou si $f(x)=_b o\big(g(x)\big)$.
  • Corollaire (comparaison à des intégrales de Riemann) : Soit $f:[a,+\infty[\to\mathbb R$ continue par morceaux.
    • S'il existe $\alpha>1$ tel que $t^\alpha f(t)\xrightarrow{t\to+\infty}0$, alors $f$ est intégrable sur $[a,+\infty[$.
    • S'il existe $c>0$ tel que $\lim_{t\to+\infty}tf(t)\geq c$, alors l'intégrale impropre $\int_a^{+\infty}f(t)dt$ n'est pas convergente.
  • On a un critère symétrique au voisinage d'un point $a$.
Intégration des relations de comparaison
Soit $I=[a,b[$ et $f,g:I\to\mathbb R$ continue par morceaux.
  • équivalence : Si $f\sim_b g$ avec $f,g\geq 0$, alors :
    • si $\int_a^b g(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b f(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt\sim_b \int_a^x g(t)dt$ (équivalence des sommes partielles).
    • si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt\sim_b \int_x^b g(t)dt$ (équivalence des restes).
  • domination : Si $f=_bO(g)$ avec $f,g\geq 0$, alors :
    • si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b O\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (domination des sommes partielles).
    • si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b O\left(\int_x^b g(t)dt\right)$ (domination des restes).
  • négligeabilité : Si $f=_b o(g)$ avec $f,g\geq 0$, alors :
    • si $\int_a^b f(t)dt$ diverge, alors $\int_a^b g(t)dt$ diverge et on a $\int_a^x f(t)dt=_b o\left( \int_a^x g(t)dt\right)$ (négligeabilité des sommes partielles).
    • si $\int_a^b g(t)dt$ converge, alors $\int_a^b f(t)dt$ converge et on a $\int_x^b f(t)dt=_b o\left( \int_x^b g(t)dt\right)$ (négligeabilité des restes).