$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Fonctions définies par une intégrale

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $I$ un intervalle.
Passage à la limite sous l'intégrale
  • Théorème de convergence dominée : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f,\varphi:I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\varphi$ positive. On suppose que
    • pour tout $t\in I$, $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$;
    • pour tout $t\in I$ et tout $n\geq 1$, $|f_n(t)|\leq \varphi(t)$;
    • la fonction $\varphi$ est intégrable sur $I$.
    Alors toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et on a $$\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I f.$$
  • Théorème d'intégration terme à terme : Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux. On suppose que
    • pour tout $t\in I$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ converge vers $f(t)$;
    • la série $\sum_{n\geq 1}\int_I |u_n(t)|dt$ est convergente.
    Alors $f$ est intégrable sur $I$, et on a $$\sum_{n\geq 1}\int_I u_n=\int_I f.$$
Régularité d'une intégrale à paramètres
  • Théorème de continuité des intégrales à paramètres : Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
    • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$;
    • pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
    • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in A$ et tout $t\in I$, $$|f(x,t)|\leq g(t).$$
    Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est continue sur $A$.
  • Théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
    • pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$;
    • $f$ admet une dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ définie sur $J\times I$;
    • pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
    • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $J$;
    • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\leq g(t).$$
    Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$, $F'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.
  • Classe $\mathcal C^k$ des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$ et $k\geq 1$. On suppose que
    • $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la première variable $\frac{\partial^j f}{\partial x^j}$ définies sur $J\times I$ pour tout $j\leq k$;
    • pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$;
    • pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ est continue sur $J$;
    • il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\right|\leq g(t).$$
    Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, $$F^{(k)}(x)=\int_I \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)dt.$$