$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : compléments de topologie des espaces vectoriels normés

$(E,\|\cdot\|),(F,\|\cdot\|)$ désignent des espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Parties compactes d'un espace vectoriel normé
  • Une partie $K$ de $E$ est dite compacte si, de toute suite $(u_n)$ d'éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de $K$.
  • En particulier, toute réunion finie ou toute intersection finie de parties compactes est compacte.
  • Proposition : Toute partie compacte de $E$ est fermée et bornée.
  • Un segment $[a,b]$ est une partie compacte de $\mathbb R$. En particulier, les parties compactes de $\mathbb R$ ou de $\mathbb C$ sont les parties fermées et bornées.
  • Proposition : Si $A$ est une partie compacte de $E$ et si $B\subset A$ est fermé, alors $B$ est compact.
  • Théorème : Une suite d'éléments d'une partie compacte de $E$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
  • Théorème : Si $E=E_1\times\dots\times E_p$ est un espace vectoriel normé produit, et si pour chaque $i=1,\dots,p$, $A_i$ est une partie compacte de $E_i$, alors $A=A_1\times\dots\times A_p$ est une partie compacte de $E$.
Applications continues sur une partie compacte
  • Théorème : Soit $f:K\to F$ une application continue où $K$ est une partie compacte de $E$. Alors $f(K)$ est un compact de $F$.
  • En particulier, si $f:K\to\mathbb R$ avec $K$ compact, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
  • Théorème de Heine: Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Parties connexes par arcs
  • Soit $A$ une partie de $E$, et $x,y\in A$. On appelle chemin continu tracé dans $A$ de $x$ vers $y$ toute application continue $f:[0,1]\to A$ vérifiant $f(0)=x$ et $f(1)=y$.
  • Une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs si, pour tous $x,y\in A$, il existe un chemin continu de $x$ vers $y$ tracé dans $A$.
  • Toute partie convexe est connexe par arcs. Toute partie étoilée est connexe par arcs.
  • Théorème : Les parties connexes par arcs de $\mathbb R$ sont les intervalles.
  • Théorème : Soit $f:A\to F$ continue. Si $A$ est connexe par arcs, alors $f(A)$ est connexe par arcs.
  • Corollaire : L'image d'un intervalle par une fonction continue à valeurs réelles est un intervalle.
  • Si $A$ est une partie de $E$, on définit une relation d'équivalence sur $A$ par $x\sim y$ s'il existe un chemin continu tracé dans $A$ joignant $x$ à $y$. Les classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence sont des parties connexes par arcs de $A$, et ce sont les parties connexes par arcs de $A$ maximales pour l'inclusion. On les appelle les composantes connexes par arcs de A. En particulier, $A$ est réunion de ses composantes connexes par arcs.
Espaces vectoriels normés de dimension finie
  • Théorème : Sur un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
  • En particulier, si $(u_n)$ est une suite d'un espace vectoriel normé de dimension finie, $(u_n)$ converge si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base converge.
  • Théorème : Une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
  • Corollaire : Toute suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie admet une suite extraite convergente.
  • Corollaire : Une suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
  • Théorème : Un espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de Banach.