$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : compléments de topologie des espaces vectoriels normés

$(E,\|\cdot\|),(F,\|\cdot\|)$ désignent des espaces vectoriels normés sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Parties compactes d'un espace vectoriel normé
  • Une partie $K$ d'un espace vectoriel normé est dite compacte si, de toute suite $(u_n)$ d'éléments de $K$, on peut extraire une sous-suite convergente.
  • En particulier, toute réunion ou toute intersection finie de parties compactes est compacte.
  • Un segment $[a,b]$ est une partie compacte de $\mathbb R$.
  • Proposition : Toute partie compacte de $E$ est fermée et bornée.
  • Proposition : Si $A$ est une partie compacte de $E$ et si $B\subset A$ est fermé, alors $B$ est compact.
  • Théorème : Si $E=E_1\times\dots\times E_p$ est un espace vectoriel normé produit, et si pour chaque $i=1,\dots,p$, $A_i$ est une partie compacte de $E_i$, alors $A=A_1\times\dots\times A_p$ est une partie compacte de $E$.
  • Théorème : Une suite d'éléments d'une partie compacte de $E$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
Applications continues sur une partie compacte
  • Théorème : Soit $f:K\to F$ une application continue où $K$ est une partie compacte de $E$. Alors $f(K)$ est un compact de $F$.
  • En particulier, si $f:K\to\mathbb R$ avec $K$ compact, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
  • Théorème de Heine: Toute fonction continue sur un compact est uniformément continue.
Parties connexes par arcs
  • Soit $A$ une partie de $E$, et $x,y\in A$. On appelle chemin continu tracé de $A$ de $x$ vers $y$ toute application continue $f:[0,1]\to A$ vérifiant $f(0)=x$ et $f(1)=y$.
  • Une partie $A$ de $E$ est connexe par arcs si, pour tous $x,y\in A$, il existe un chemin continu de $x$ vers $y$ tracé dans $A$.
  • Toute partie convexe est connexe par arcs. Toute partie étoilée est connexe par arcs.
  • Théorème : Les parties connexes par arcs de $\mathbb R$ sont les intervalles.
  • Théorème : Soit $f:A\to F$ continue. Si $A$ est connexe par arcs, alors $f(A)$ est connexe par arcs.
  • Corollaire : L'image d'un intervalle par une fonction continue à valeurs réelles est un intervalle.
  • Si $A$ est une partie de $E$, on définit une relation d'équivalence sur $A$ par $x\sim y$ s'il existe un chemin continu tracé dans $A$ joignant $x$ à $y$. Les classes d'équivalence pour cette relation d'équivalence sont des parties connexes par arcs de $A$, et ce sont les parties connexes par arcs de $A$ maximales pour l'inclusion. On les appelle les composantes connexes par arcs de A. En particulier, $A$ est réunion de ses composantes connexes par arcs.
Espaces vectoriels normés de dimension finie
  • Théorème : Sur un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
  • En particulier, si $(u_n)$ est une suite d'un espace vectoriel normé de dimension finie, $(u_n)$ converge si et seulement si chacune de ses coordonnées dans une base converge.
  • Théorème : Une partie d'un espace vectoriel normé de dimension finie est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
  • Corollaire : Toute suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie admet une suite extraite convergente. Une suite bornée d'un espace vectoriel normé de dimension finie converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.
  • Théorème : Soit $\phi:E\to F$ une application linéaire avec $E$ de dimension finie. Alors $\phi$ est continue.
  • Plus généralement, si $\phi:E_1\times\dots\times E_p\to F$ est $p$-linéaire et si chaque $E_i$ est de dimension finie, alors $\phi$ est continue.