$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Anneaux

Structure d'anneaux
  • On appelle anneau la donnée d'un ensemble $A$ et de deux lois de composition interne notées $+$ et $\times$ sur $A$ vérifiant les propriétés suivantes :
    1. $(A,+)$ est un groupe abélien dont le neutre sera noté $0_A$;
    2. La loi $\times$ est associative : pour tous $a,b,c\in A$, $a\times(b\times c)=(a\times b)\times c$;
    3. la loi $\times$ possède un élément neutre noté $1_A$;
    4. la loi $\times$ est distributive à gauche et à droite par rapport à la loi $+$, c'est-à-dire que pour tout $a,b,c\in A$, on a $$a\times(b+c)=a\times b+a\times c\textrm{ et }(b+c)\times a=b\times a+c\times a.$$
    Lorsque la loi $\times$ est commutative, on dit que l'anneau est commutatif.
  • Dans un anneau $A$, tous les éléments $a\in A$ n'admettent pas forcément d'inverse pour la loi $\times$. Lorsque c'est le cas, on dit que $a$ est inversible ou que c'est une unité de $A$, et on note son inverse $a^{-1}$.
  • Si $A$ et $B$ sont deux anneaux, on munit $A\times B$ d'une structure d'anneau en posant $(a,b)+ (a',b')=(a+a',b+b')$ et $(a,b) \times (a',b')=(a\times a',b\times b')$.
  • Si $A$ est un anneau et $B$ est une partie de $A$, on dit que $B$ est un sous-anneau de $A$ si, muni des lois induites par $A$, c'est lui-même un anneau.
  • Proposition (caractérisation des sous-anneaux) : Une partie $B$ de l'anneau $A$ est un sous-anneau de $A$ si et seulement si :
    • $1_A\in B$;
    • pour tous $a,b\in B$, $a-b\in B$;
    • pour tous $a,b\in B$, $a\times b\in B$.
  • Dans un anneau, on peut continuer à appliquer les identités remarquables pourvu que les éléments auxquels on les applique commutent. Par exemple, si $a\times b=b\times a$, la formule du binôme de Newton $$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \binom nk a^k b^{n-k}$$ est vraie.
  • Soient $A,B$ deux anneaux. Une application $f:A\to B$ est un morphisme d'anneaux si les conditions suivantes sont vérifiées :
    1. $f(1_A)=1_B$;
    2. pour tous $a,b\in A$, on a $f(a+b)=f(a)+f(b)$;
    3. pour tous $a,b\in A$, on a $f(a\times b)=f(a)\times f(b)$.
    Lorsque $f$ est bijective, on parle d'isomorphisme d'anneaux.
  • Un anneau $A$ est intègre si l'équation $a\times b=0$ entraîne $a=0$ ou $b=0$.
  • Un corps est un anneau commutatif dans lequel tout élément non nul est inversible.
  • Si $K$ est un corps, une partie $L$ de $K$ est un sous-corps de $K$ si $L$ est un sous-anneau de $K$ qui est un corps. Autrement dit, $L$ est un sous-corps de $K$ si et seulement si
    • $1_K\in L$;
    • pour tous $a,b\in L$, $a-b\in L$;
    • pour tous $a,b\in L$, $a\times b\in L$;
    • pour tout $a\in L$ non-nul, on a $a^{-1}\in L$.
Idéaux - divisibilité
  Soit $A$ un anneau commutatif.
  • Une partie $I$ de $A$ est un idéal si $(I,+)$ est un groupe et si, pour tout $a\in A$ et tout $u\in I$, alors $au\in I$ (propriété d'absorbtion).
  • Le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal.
  • Proposition : Une partie $I$ de $A$ est un idéal si et seulement si $I$ est non vide et vérifie :
    • pour tous $x,y\in I$, $x-y\in I$;
    • pour tout $x\in I$ et tout $a\in A$, $ax\in I$.
  • Si $x$ est un élément de $A$, alors $xA=\{xa;\ a\in A\}$ est un idéal de $A$ et c'est le plus petit idéal contenant $A$. On l'appelle idéal engendré par $a$.
  • Si $A$ est intègre et $x,y\in A$, on dit que $x$ divise $y$ si et seulement si il existe $c\in A$ tel que $cx=y$.
  • Proposition : Soit $A$ un anneau commutatif intègre et $x,y\in A$. Alors $x$ divise $y$ si et seulement si $yA\subset xA$.
Idéaux de $\mathbb Z$, anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$
  • Théorème : Les idéaux de $\mathbb Z$ sont les ensembles $n\mathbb Z$ pour $n\in\mathbb N$.
  • Soit $n\geq 2$. La relation de congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb Z$ : $a\equiv b\ [n]\iff a-b\in n\mathbb Z$. On note $\bar a$ la classe d'équivalence de $a$, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation. On a en particulier $\mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar 0,\bar 1,\dots,\overline {n-1}\}.$
  • Théorème : On munit $\mathbb Z/n\mathbb Z$ d'une structure d'anneaux en posant $$\bar a+\bar b=\overline{a+b}$$ $$\bar a\times \bar b=\overline{a\times b}.$$
  • Théorème : $\bar k$ est inversible dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ si et seulement $k\wedge n=1$.
  • Corollaire : $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+,\times)$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
  • Théorème chinois : Si $n,m\geq 2$ sont premiers entre eux, alors l'anneau produit $\mathbb Z/n\mathbb Z\times \mathbb Z/m\mathbb Z$ est isomorphe à l'anneau $\mathbb Z/nm\mathbb Z$.
  • On appelle indicatrice d'Euler et on note $\varphi(n)$ le nombre d'éléments inversibles dans l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$.
  • Théorème : Si la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$ est $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$, alors $$\varphi(n)=\prod_{i=1}^r (p_i^{\alpha_i}-p_i^{\alpha_i-1}).$$
  • Théorème d'Euler : Pour tout entier naturel $n\geq 2$ et tout entier $k$ premier avec $n$, on a $k^{\varphi(n)}\equiv 1\ [n].$
Idéaux et arithmétique de polynômes
Dans ce paragraphe, $\mathbb K$ désigne un sous-corps de $\mathbb C$.
  • Théorème : Les idéaux de $\mathbb K[X]$ sont les idéaux $( P)$ engendrés par un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ : $$( P)=\{AP;\ A\in\mathbb K[X]\}.$$ De plus, on a $( P)=( Q)$ si et seulement si il existe $\lambda\in\mathbb K^*$ tel que $Q=\lambda P$.
  • Si $P$ et $Q$ sont deux polynômes de $\mathbb K[X]$, l'ensemble $\{AP+BQ;\ A,B\in\mathbb K[X]\}=( P)+(Q)$ est un idéal de $\mathbb K[X]$. Il existe un polynôme unitaire $D$ unique tel que $( P)+(Q)=(D)$. $D$ s'appelle le pgcd de $A$ et $B$.
  • On dit que $A$ et $B$ sont premiers entre eux si $A\wedge B=1$.
  • Théorème de Bézout : Soient $A,B\in\mathbb K[X]$ non-nuls. Alors $A\wedge B=1$ si et seulement s'il existe $U,V\in\mathbb K[X]$ tels que $AU+BV=1$.
  • Lemme de Gauss : Soient $A,B,C\in\mathbb K[X]$ non-nuls. On suppose que $A\wedge B=1$. Alors si $A|BC$, on a $A|C$.
  • On peut généraliser la définition du pgcd à un nombre fini de polynômes $P_1,\dots,P_r$ : le pgcd de ces polynômes est l'unique polynôme $D$ tel que $(D)$ est égal à l'idéal $\{A_1P_1+\dots+A_rP_r;\ A_1,\dots,A_r\in\mathbb K[X]\}$.
  • Un polynôme $P\in\mathbb K[X]$ est irréductible s'il est de degré supérieur ou égal à 1 et si tous ses diviseurs sont les polynômes constants ou les polynômes associés à $P$ (c'est-à-dire les polynômes qui s'écrivent $\lambda P$ avec $\lambda\in\mathbb K$).
  • Théorème : Tout polynôme $P\in\mathbb K[X]$ s'écrit $$P=\lambda P_1\cdots P_r$$ où $\lambda\in\mathbb K$ et où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles et unitaires de $\mathbb K[X]$. De plus, cette décomposition est unique à l'ordre des termes prêt.
  • Théorème : Les polynômes irréductibles de $\mathbb C[X]$ sont les polynômes de degré 1.
  • Théorème : Les polynômes irréductibles de $\mathbb R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.
Algèbre
Dans ce paragraphe, $\mathbb K$ est un corps.
  • On appelle $\mathbb K$-algèbre un ensemble muni de deux lois internes $+$ et $\times$ et d'une loi externe sur le corps $\mathbb K$, notée $\cdot$, telles que
    • $(E,+,\times)$ est un anneau;
    • $(E,+,\cdot)$ est un espace vectoriel sur $\mathbb K$;
    • Pour tout $\alpha\in\mathbb K$, pour tout $(x,y)\in E^2$, on a $$(\alpha \cdot x)\times y=x\times (\alpha\cdot y)=\alpha\cdot(x\times y).$$
  • Une partie $F$ d'une algèbre $E$ est une sous-algèbre de $E$ si muni des lois $+$, $\times$, $\cdot$ héritées de $E$, c'est une algèbre.
  • Si $E$ et $F$ sont deux algèbres, une application $f:E\to F$ est un morphisme d'algèbre si c'est un morphisme d'anneaux et une application linéaire.