$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : variables aléatoires discrètes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
On possède une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d'obtenir pile soit 0,3.
  1. On lance 10 fois la pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois pile?
  2. On lance la pièce jusqu'à ce que l'on obtienne pile pour la première fois. Combien effectuera-t-on en moyenne de lancers?
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Dans un bureau de poste, il y a deux guichets. Chacune des personnes arrivant à la poste choisit le premier guichet avec une probabilité $p$, ou le deuxième guichet avec une probabilité $q=1-p$. Les personnes effectuent leur choix de façon indépendante. En une heure, le nombre $X$ de personnes arrivés à la poste suit une loi de Poisson $\mathcal{P}(m)$. On désigne par $Y$ le nombre de personnes ayant choisi le premier guichet.
  1. Exprimer la probabilité conditionnelle de $Y=k$ sachant que $X=n$.
  2. En déduire la loi conjointe du couple $(X,Y)$.
  3. Déterminer la loi de $Y$. On trouvera que $Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $mp$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - La somme de deux dés truqués ne suit jamais la loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que toutes les racines (complexes) non-nulles du polynôme $P(X)=X^2+X^3+\dots+X^{12}$ sont simples.
  2. Peut-on truquer un dé de sorte que, en le lançant deux fois de suite, la somme des numéros obtenus suive la loi uniforme sur $\{2,\dots,12\}$?
Indication
Corrigé