$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : topologie des espaces vectoriels normés

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Les fonctions suivantes ont-elles une limite en $(0,0)$?
  1. $f(x,y)=(x+y)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$
  2. $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
  3. $f(x,y)=\frac{|x+y|}{x^2+y^2}$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|\cdot\|_\infty$. On pose $$A=\left\{f\in E;\ f(0)=0\textrm{ et }\int_0^1 f(t)dt\geq 1\right\}.$$ Démontrer que $A$ est une partie fermée de $E$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$. On rappelle que la frontière de $A$ est l'ensemble $\Fr(A)=\bar A\backslash \stackrel{\circ}{A}=\bar A\cap \overline{C_E A}$. Montrer que :
  1. $ \Fr(A)=\{x\in E \mid \forall \epsilon>0, B(x,\epsilon)\cap A \neq\emptyset \textrm{ et } B(x,\epsilon)\cap C_E A\neq\emptyset\}$.
  2. $\Fr(A)=\Fr(C_E A)$.
  3. $A$ est fermé si et seulement si $\Fr(A)$ est inclus dans $A$.
  4. $A$ est ouvert si et seulement si $\Fr(A)\cap A=\emptyset$.
  5. Montrer que si $A$ est fermé, alors $\Fr(\Fr(A))=\Fr(A)$.
Indication
Corrigé