$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Séries

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - A partir de développements limités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner la nature des séries numériques $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf 1.\ u_n=1-\cos\frac{\pi}{n}&& \displaystyle \displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\sqrt{\ch\frac{1}{n}-1}\\ \displaystyle \displaystyle \mathbf 3.\ u_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}\\ \end{array}.$$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Suivant la valeur de $\alpha\in\mathbb R$, déterminer la nature de la série $\sum_n u_n$, où $$u_n=\frac{\sqrt 1+\sqrt 2+\dots+\sqrt n}{n^\alpha}.$$
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Terme général donné par un produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier la nature de la série de terme général $$u_n=\prod_{q=2}^n\left(1+\frac{(-1)^q}{\sqrt q}\right).$$
Indication
Corrigé