$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : réduction d'endomorphismes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soient $a,b,c\in\mathbb R^3$. La matrice $A=\left(\begin{array}{ccc} 0&-b&c\\ a&0&-c\\ -a&b&0 \end{array}\right)$ est-elle diagonalisable?
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soit $\phi:M\in\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R),\ M\mapsto {}^tM$. Déterminer les valeurs propres de $\phi$. $\phi$ est-elle diagonalisable?
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Produit de matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $AB=BA$ et $B$ est nilpotente. Prouver que si $A\neq 0$, alors $\textrm{rg}(BA)<\textrm{rg}(A)$.
  2. Soient $A_1,\dots,A_n\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ des matrices nilpotentes qui commutent. Prouver que $A_1\cdots A_n=0$. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que les matrices commutent?
Indication
Corrigé