$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : réduction d'endomorphismes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Calcul du polynôme minimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&1 \end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{array}\right),\ C=\left(\begin{array}{ccc} 1&2&-2\\ 2&1&-2\\ 2&2&-3 \end{array}\right)\textrm{ et } D=\left(\begin{array}{ccc} 3&0&8\\ 3&-1&6\\ -2&0&-5 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Polynôme caractéristique évalué en une autre matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $M,N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $MN$ est inversible si et seulement si $M$ et $N$ sont inversibles.
  2. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $$\chi_A(B)\in GL_n(\mathbb C)\iff \textrm{Sp}(A)\cap \textrm{Sp}(B)=\varnothing.$$
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $M\in M_n(\mathbb C)$ et $p\geq 1$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $M^p$ est diagonalisable et $\ker(M)=\ker(M^p)$. Le résultat subsiste-t-il si on travaille dans $\mathbb R$?
Indication
Corrigé