Préparer sa kholle : réduction d'endomorphismes
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1
\end{array}\right),\
B=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{array}\right),\
C=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&-2\\
2&1&-2\\
2&2&-3
\end{array}\right)\textrm{ et }
D=\left(\begin{array}{ccc}
3&0&8\\
3&-1&6\\
-2&0&-5
\end{array}\right).$$
L'exercice standard
Exercice 2 - Polynôme caractéristique évalué en une autre matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Soient $M,N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $MN$ est inversible si et seulement si $M$ et $N$ sont inversibles.
- Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $$\chi_A(B)\in GL_n(\mathbb C)\iff \textrm{Sp}(A)\cap \textrm{Sp}(B)=\varnothing.$$
L'exercice pour les héros
Enoncé
Soit $M\in M_n(\mathbb C)$ et $p\geq 1$. Montrer que $M$ est diagonalisable
si et seulement si $M^p$ est diagonalisable et $\ker(M)=\ker(M^p)$. Le résultat subsiste-t-il si on travaille dans $\mathbb R$?