$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Groupes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Morphismes de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer tous les morphismes de $(\mathbb Z,+)$ dans lui-même. Lesquels sont injectifs? surjectifs?
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Produit de groupes cycliques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $G$ et $H$ deux groupes.
  1. Montrer que si $g$ est un élément d'ordre $p$ de $G$ et $h$ un élément d'ordre $q$ de $H$, alors $(g,h)$ est d'ordre $\textrm{ppcm}(p,q)$ dans $G\times H$.
  2. On suppose que $G$ et $H$ sont cycliques. Démontrer que $G\times H$ est cyclique si et seulement si les ordres de $G$ et $H$ sont premiers entre eux.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Enoncé
  1. Soit $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$ d'ordre des entiers premiers. Démontrer que $H=K$ ou que $H\cap K=\{e\}$.
  2. Démontrer que dans un groupe d'ordre 35, il existe un élément d'ordre 5 et un élément d'ordre 7.
Indication
Corrigé