$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Fonctions définies par une intégrable

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Théorème de convergence dominée - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\geq 0$ et $n\geq 1$, on pose $f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\geq 0$, $f_n(x)\to e^x$ et que $|f_n(x)|\leq e^x$.
  2. En déduire, pour $b>1$, la limite de $\int_0^{+\infty}\left(1+\frac xn\right)^n e^{-bx}dx$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
On pose $f(x)=\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}dt$.
  1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
  2. Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
  3. Calculer $f(x)+f(x+1)$ pour tout $x>0$.
  4. En déduire un équivalent de $f$ en $0$.
  5. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Calcul d'une transformée de Fourier par résolution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de $$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt.$$ On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
Indication
Corrigé