Préparer sa kholle : espaces vectoriels normés
L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Sur $E=\mathbb R[X]$, on définit $N_1$ et $N_2$ par
$$N_1( P)=\sum_{k=0}^{+\infty}|P^{(k)}(0)|\textrm{ et }N_2( P)=\sup_{t\in [-1,1]}|P(t)|.$$
- Démontrer que $N_1$ et $N_2$ sont deux normes sur $E$.
- Étudier pour chacune des deux normes la convergence de la suite $(P_n)$ définie par $P_n=\frac 1nX^n$.
- Les deux normes sont-elles équivalentes?
L'exercice standard
Enoncé
Pour $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit
$$\langle A,B\rangle=\textrm{tr}(A^T B).$$
- Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. On notera $N$ la norme associée.
- Démontrer que, pour tous $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $N(AB)\leq N(A)N(B)$.
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Suite bornée et valeurs d'adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de réels bornée. Démontrer que $(u_n)$ converge si et seulement si elle admet une unique valeur d'adhérence.