$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Séries entières

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb R^2$ tels que toute solution de $y''+ay'+by=0$ soit bornée.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Raccordement de solutions - dimensions possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
$a$ et $b$ étant deux fonctions continues sur $\mathbb R$, on considère $(E)$ l'équation différentielle $$x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0.$$ On note $S^+$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $I=]0,+\infty[$ et $S^-$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur l'intervalle $J=]-\infty,0[$, et on note $S$ l'espace vectoriel des fonctions de classe $C^2$ solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$ tout entier. L'objectif de l'exercice est d'étudier les valeurs possibles pour la dimension de $S$.
  1. Rappeler la dimension de $S^+$ et de $S^-$.
  2. On note $\varphi$ l'application linéaire de $S$ vers $S^+\times S^-$ définie par $\varphi(f)=(f_{|I},f_{|J})$. Donner le noyau de $\varphi$. En déduire que $\dim S\leq 4$.
  3. Dans cette question, on suppose que $a(x)=x$ et que $b(x)=0$, d'où $(E)$ est l'équation $x^2y''+xy'=0$. Déterminer $S^+$ et $S^-$. En déduire ensuite $S$ et sa dimension.
  4. Dans cette question, $(E)$ est l'équation $x^2y''-6xy'+12y=0$. Déterminer deux solutions sur $I$ de la forme $x\mapsto x^\alpha$ ($\alpha$ réel). En déduire $S^+$ puis $S^-$. En déduire $S$ et sa dimension.
  5. En s'inspirant de la question précédente, donner un exemple d'équation différentielle du type $x^2y''+a(x)y'+b(x)y=0$ tel que $\dim S=0$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Au moins/au plus un zéro! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p:\mathbb R\to\mathbb ]0,+\infty[$ une fonction continue.
  1. Soit $y$ une solution de l'équation différentielle $y''+py=0$. Montrer que $y$ s'annule au moins une fois.
  2. Soit $z$ une solution de l'équation différentielle $z''-pz=0$. Montrer que $z$ est identiquement nulle, ou que $z$ s'annule au plus une fois.
Indication
Corrigé